Page 217 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2158.6 Jashtëqendërsia e elipsitA Kërkoni dhe zbulonia) Gjeni largesat vatrore të elipseve me gjysmëboshte përkatësisht:i) 5 dhe 3; ii) 13 dhe 12.b) Llogarisni për secilin prej tyre raportin ca.c) Cili prej tyre është më i shtypur?B Vrojtoni dhe mësoniNumri e = ca quhet jashtëqendërsi e elipsit. Meqë 0 < c < a, del se jashtëqendërsia e elipsit është numër pozitiv më i vogël se 1.Nga vlera e jashtëqendërsisë varet forma e elipsit. Për të gjykuar për formën e elipsit, mund të shkruajmë:e2 = c2a2 = a2 – b2a2 = 1 – b2a2 ⇒ b2a2 = 1 – e2 nga ku ba = 1 – e2.Barazimi i fundit tregon që sa më e vogël të jetë jashtëqendërsia, aq më i vogël është ndryshimi ndërmjet a dhe b, d.m.th. aq më shumë elipsi i afrohet rrethit. Për e = 0 kemi a = b dhe ekuacioni i elipsit merr trajtënx2a2 + y2a2 = 1 ⇒ x2 + y2 = a2, i cili është ekuacioni i rrethit me qendër në origjinën e koordinatave dhe rreze a.Sa më e madhe të jetë jashtëqendërsia, aq më i madh është ndryshimi ndërmjet a dhe b, d.m.th. aq më “i shtypur” është elipsi.Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i elipsit duke ditur se boshti i madh e tij është 10 dhe jashtëqendërsia 0,6.ZgjidhjeKemi 2a = 10 Þ a = 5; e = ca = 0,6 ⇒ c = 0,6 · a = 0,6 · 5 = 3;b2 = a2 – c2 Þ b2 = 25 – 9 = 16. Ekuacioni i elipsit është x225 + y216 = 1.Shembulli 2Të gjendet jashtëqendërsia e elipsit në qoftë se segmenti që bashkon vatrat e tij shihet nga skaji i boshtit të vogël nën një kënd të drejtë.ZgjidhjeJepet ÐF1BF2 = 90º (fig. 8.25).Nga simetria e elipsit del se ÐOBF2 = 45º, nga ku ÐOF2B = 90º – ÐOBF2 = 90º – 45º = 45º, nga ku b = c. Në trekëndëshin BOF2 kemi: a2 = b2 + c2 = c2 + c2 = 2c2 Þ a = c 2. Jashtëqendërsia e elipsit është:e = ca = cc 2 = 12 = 22 .Fig. 8.25BA1 F A 1 F c 2a 45° bB1Oyx