Page 219 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2178.7 Rrezet vatrore të elipsitA Vrojtoni dhe mësoniNë fig. 8.26 është ndërtuar elipsi x2a2 + y2b2 = 1.Nga përkufizimi i tij, kemi: r1 + r2 = 2a (1) ku r1 = (x + c)2 + y2 dhe r2 = (x – c)2 + y2 .Duke ngritur të dyja anët në katror në dy barazimet e fundit, kemi:r12 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 dhe r22 = (x – c)2 + y2 = x2 – 2cx + c2 + y2. Duke zbritur anë për anë këto barazime, kemi:r12 – r22 = 4cx Þ (r1 – r2)(r1 + r2) = 4cx . Por nga barazimi (1) r1 + r2 = 2a, prandaj:(r1 – r2)×2a = 4cx Þ r1 – r2 = 2 cax (2).Me barazimet (1) dhe (2) formojmë sistemin :r1 + r2 = 2ar1 – r2 = 2 cax nga ku r1 = a + caxr2 = a – cax ose {r1 = a + exr2 = a – exKëto formula shprehin gjatësitë e rrezeve vatrore të çdo pike të elipsit.Shembulli 1Në elipsin x2100 + y264 = 1 jepet pika M(x; 4 3), ku y > 0. Të gjenden gjatësitë e rrezeve vatrore të kësaj pike.ZgjidhjeDuke zëvendësuar koordinatat e pikës M në ekuacionin e elipsit, kemi:x2100 + 4864 = 1 ⇒ x2100 + 34 = 1 ⇒ x = ±5. Nga kushti x > 0, pranohet x = 5. Pra, M(5; 4 3).Nga ekuacioni i elipsit, kemi a2 = 100 Þ a = 10 dhe b2 = 64, nga ku: c2 = a2 – b2 = 100 – 64 = 36 Þ c = 6r1 = a + cax = 10 + 610 · 5 = 10 + 3 = 13;r2 = a – cax = 10 – 610 · 5 = 10 – 3 = 7Shembulli 2Në elipsin x236 + y211 = 1 të gjendet pika, largesa e së cilës nga vatra e majtë është tri herë më e madhe sesa largesa e saj nga vatra e djathtë.ZgjidhjeKemi a2 = 36 Þ a = 6 dhe c2 = a2 – b2 = 36 – 11 = 25 Þc = 5.Në barazimin r1 + r2 = 2a, zëvendësojmë r1 = 3r2 dhe kemi:3r2 + r2 = 2a Þ4r2 = 12 Þr2 = 3. Por r2 = a – cax. Duke zëvendësuar në këtë formulë, kemi:3 = 6 – 56 x ⇒ 56 x = 3 ⇒ x = 185 . Duke zëvendësuar në ekuacionin e elipsit, gjejmë y = ± 45 11.Janë dy pika që plotësojnë kushtet e problemit: M1 (185 ; – 45 11) dhe M2 (185 ; 45 11).Fig. 8.26A1 F A 1(-c, 0) F2(c, 0)r1r2M (x, y)B1BOyx