Page 221 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2198.8 Vijat drejtuese të elipsitA Vrojtoni dhe mësoniNë fig. 8.27 është ndërtuar elipsi x2a2 + y2b2 = 1 dhe drejtëzat me ekuacione d1 : x = – ae dhe d2 : x = ae .Shënojmë me d largesën e pikës M nga drejtëza d2. Kemi: d = ae – x. Gjithashtu, r2 = a – ex. Llogaritim raportin rd . Kemi: rd = a – exae – x = a – exa – exe = e. Pra rd = e.Njësoj, duke vepruar për vatrën F1 dhe drejtëzën me ekuacion x = – ae arrihet në përfundimin rd = e.Drejtëzat d1 dhe d2 me ekuacione x = ± ae quhen vija drejtuese të elipsit, ose shkurt, drejtuese të tij. Nga sa thamë më lart, ato kanë këtë veti:Raporti i largesave të çdo pike të elipsit nga vatra dhe vija drejtuese përkatëse është madhësi konstante, e barabartë me jashtëqendërsinë e elipsit.Shënim.Në ekuacionin e vijave drejtuese x = ± ae , zëvendësojmë e = ca. Kemi x = ± ac= ± aca = ± a2c .Largesa ndërmjet vijave drejtuese të elipsit është l = ae + ae = 2ae ose l = 2a2c .Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i elipsit, boshti i madh i të cilit është 24 dhe largesa ndërmjet vijave drejtues të tij është 36.ZgjidhjeKemi 2a = 24 Þ a = 12. Largesa ndërmjet vijave drejtuese është l = 2a2c. Kemi:2a2c = 36 ⇒ c = a218 = 14418 = 8b2 = a2 – c2 = 144 – 64 = 80. Ekuacioni i elipsit është x2144 + y280 = 1.Shembulli 2Në elipsin me vatra F1(–3; 0) dhe F2(3; 0), merret pika M(4; 2,4). Të gjendet largesa e kësaj pike nga vija drejtuese përkatëse e elipsit.ZgjidhjeLargesat e pikës M nga vatrat e elipsit, janë: r1 = MF1 = (4 + 3)2 + (2,4)2 = 49 + 5,76 = 54,76 = 7,4 dher2 = MF2 = (4 – 3)2 + (2,4)2 = 1 + 5,76 = 6,76 = 2,62a = MF1 + MF2 = r1 + r2 = 7,4 + 2,6 = 10 Þ a = 5. Jashtëqendërsia e elipsit është e = ca = 35 = 0,6.Shënojmë me d largesën e pikës M nga vija drejtuese e djathtë e elipsit. Nga përkufizimi i saj, kemi: rd = e ⇒ d = re = 2,60,6 = 133 .Fig. 8.27A1d1x = - aed2F A 1 F2r1r2M (x, y) dB1BOx = ae