Page 223 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2218.9 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe elipsitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Sa pika të përbashkëta ka elipsi x24 + y2 = 1 me drejtëzën y = x + 1?B Vrojtoni dhe mësoniJepet drejtëza y = kx + t dhe elipsi x2a2 + y2b2 = 1. Për të gjetur pikat e tyre të përbashkëta, zgjidhim sistemin e ekuacioneve: y = kx + tx2a2 + y2b2 = 1. Duke zëvendësuar y në ekuacionin e dytë, kemi:x2a2 + (kx + t)2b2 = 1 ⇒ b2x2 + a2k2 x2 + 2a2 ktx + a2t2 – a2b2 = 0 ⇒⇒ x2 (a2k2 + b2) + 2a2 ktx + (a2t2 – a2b2) = 0 (1)Përftohet në këtë mënyrë një ekuacion i fuqisë së dytë. Dallori i këtij ekuacioni është:D = 2akt –4 (a2k2 + b2)(a2t2 – a2b2) = 4a2b2 (a2k2 + b2– t2).Dallojmë tri raste:1) D < 0 Þ 4a2b2(a2k2 + b2 – t2)<0 Þ a2k2 + b2 – t2 < 0. Ekuacioni (1) nuk ka zgjidhje. Rrjedhimisht, elipsi dhe drejtëza nuk kanë pika të përbashkëta. Drejtëza nuk e pret elipsin (fig. 8.28/a).dyO x ABdyO xAdyO x Fig. 8.28/a Fig. 8.28/b Fig. 8.28/c2) D > 0 Þ 4a2b2(a2k2 + b2 – t2) > 0 Þ a2k2 + b2 – t2 > 0. Ekuacioni (1) ka dy rrënjë. Rrjedhimisht, elipsi dhe drejtëza kanë dy pika të përbashkëta. Drejtëza e pret elipsin (fig. 8.28/b).3) D = 0 Þ 4a2b2(a2k2 + b2 – t2) = 0 Þ a2k2 + b2 – t2 = 0 Þ a2k2 + b2 = t2. Ekuacioni (1) ka vetëm një rrënjë. Drejtëza dhe elipsi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Drejtëza është tangjente me elipsin (fig. 8.28/c).Në këtë mënyrë kemi gjetur kushtin që drejtëza y = kx + t të jetë tangjente me elipsin x2a2 + y2b2 = 1. Ky kusht është: a2k2 + b2 = t2.Shembulli 1Drejtëza y = 2x + t është tangjente me elipsin x215 + y24 = 1. Të gjendet t.ZgjidhjeNga kushti i tangjencës, kemi: 15 × 4 + 4 = t2 Þ t = ±8.