Page 224 - Demo

222MATEMATIKA 12USHTRIMEShembulli 2Të shkruhet ekuacioni i elipsit, i cili është tangjent me drejtëzat: d1 : y = x – 5 dhe d2 : y = 7x + 11.ZgjidhjeEkuacioni i elipsit është x2a2 + y2b2 = 1. Nga kushti i tangjencës kemi:Për drejtëzën d1: a2 × 1 + b2 = 25 (1)Për drejtëzën d2: a2 × 7 + b2 = 121 (2)Me ekuacionet (1) dhe (2) formojmë sistemin:{a2 + b2 = 257a2 + b2 = 121⇒ {a2 = 16b2 = 9 . Ekuacioni i elipsit është x216 + y29 = 1.Shembulli 3 Të gjendet kushti që drejtëza me ekuacion Ax + By + C = 0 të jetë tangjente me elipsin x2a2 + y2b2 = 1.ZgjidhjeGjejmë ekuacionin më të thjeshtë të drejtëzës së dhënë. y = – AB x – CB . Kemi k = – AB dhe t = – CB . Duke zëvendësuar në kushtin e tangjencësa2k2 + b2 = t2, kemi: a2 (– AB )2 + b2 = (– CB )2 ⇒ a2A2 + b2B2 = C2.C Ushtrohuni duke zbatuarDrejtëza y = px + 4 është tangjente me elipsin x212 + y24 = 1. Cila është vlera pozitive e p?1 Të gjenden pikat e prerjes së drejtëzës 2x – 5y + 2 = 0 me elipsin 4x2 + 25y2 = 100.2 Drejtëza y = x + n është tangjente me elipsin 4x2 + 3y2 = 12. Cila është vlera pozitive e n?3 Në fig. 8.29, M1M2 është përgjysmore e kuadrantit të dytë e të katërt. Ekuacioni i elipsit është x264 + y236 = 1. Të gjendet gjatësia e segmentit M1M2.4 Drejtëza 4x – 5y – 40 = 0 është tangjente me elipsin x250 + y232 = 1. Të gjendet pika e tyre e takimit.5 Ekuacioni i elipsit është x236 + y220 = 1. Të gjendet syprina e drejtkëndëshit MNPQ (fig. 8.30).6 Të gjendet syprina e katrorit të brendashkruar në elipsin x220 + y25 = 1 (fig. 8.31).Udhëzim. Shënojmë M(m; n), të provohet që m = n.Fig. 8.29 Fig. 8.30 Fig. 8.31yO xM A 2M1yxP NQ MF1 O F2yxN M (m, n)P QO