Page 225 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2238.10 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të elipsitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)a) Gjeni pikën C të elipsit x24 + y2 = 1 që ka abshisë 3 dhe ordinatë pozitive.b) Shkruani ekuacionin e drejtëzës që ka koeficient këndor k dhe kalon nga pika C.c) Gjeni vlerën e k që kjo drejtëz të jetë tangjente ndaj elipsit në pikën C.B Vrojtoni dhe mësoniJepet elipsi x2a2 + y2b2 = 1 dhe pika M1(x1; y1) në të (fig. 8.32). Ekuacioni i tangjentes me elipsin në pikën M1 ka trajtën y – y1 = k(x – x1), ku k është koeficienti këndor i tangjentes.Nga kuptimi gjeometrik i derivatit, dimë se k = y’(x1). Nga ekuacioni i elipsit, kemi:y2 = b2 – b2a2 x2. Duke derivuar të dyja anët në lidhje me x, kemi:2y · y' = –2 b2a2 x ⇒ y' = b2a2 · xy⇒ k ⇒ – b2a2 · x1y1. Rrjedhimisht, ekuacioni i tangjentes në pikën M1 është:y – y1 = b2a2 · x1y1(x – x1). Duke shumëzuar të dyja anët e këtij barazimi me y1b2 , kemi:yy1b2 – y 21b2 = – xx1a2 + x 21a2 ⇒ xx1a2 + yy1b2 = x 21a2 + y 21b2 . Meqë pika M1(x1; y1) ndodhet në elips, ana e djathtë e barazimit të fundit është e barabartë me 1. Në këtë mënyrë, ekuacioni i tangjentes është: xx1a2 + yy1b2 = 1.Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i tangjentes së elipsit x216 + y212 = 1 në pikën M(–2; 3) të tij.ZgjidhjeDuke zëvendësuar në ekuacionin e tangjentes x1 = –2 dhe x2 = 3, kemi:x · (–2)16 + y · 312 = 1 ⇒ x – 2y + 8 = 0.Shembulli 2Jepet elipsi x264 + y236 = 1.a) Të shkruhet ekuacioni i tangjentes ndaj tij, e cila formon me boshtin e abshisave këndin 135º.b) Të gjenden koordinatat e prerjes së saj me boshtet koordinative.Zgjidhjea) Ekuacioni i tangjentes është y = kx + t. Kemi: k = tg135º = –1 Þ y = – x + t. Nga kushti i tangjencës, kemi:a2 × k2 + b2 = t 2 Þ 64 × 1 + 36 = t 2 Þ t = ±10.Vëmë re se janë dy tangjente T1: y = –x + 10 dhe T2 : y = x + 10 (fig. 8.33), të cilat janë paralele ndërmjet tyre.Fig. 8.32yxM1 (x1, y1)A1 AB1BOFig. 8.33yA1 xP2P1T1T2B1Q2Q1OB (0,4)A (8,0)