Page 227 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI225Shembulli 3Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve ndaj elipsit x212 + y24 = 1, të ndërtuara nga pika M(1; –3).ZgjidhjeVëmë re se pika M(1; –3) nuk ndodhet në elips, sepse koordinatat e saj nuk e vërtetojnë ekuacionin e elipsit (fig. 8.34).Drejtëzat që kalojnë nga pika M(1; –3), kanë ekuacionin: y + 3 = k(x – 1) Þ y = kx + (–k – 3)Nga kushti i tangjencës së drejtëzës me elipsin, kemi:12 k2 + 4 = (–k – 3)2 Þ 12k2 + 4 = k2 + 6k + 9 Þ 11k2 – 6k – 5 = 0 Þ k1 = 1 dhe k2 = – 511.Ekuacionet e tangjenteve janë:T1 : y = x + (–1 – 3) ⇒ y = x – 4 T2 : y = – 511 x + ( 511 – 3) ⇒ y = – 511 x – 2811C Ushtrohuni duke zbatuarTë shkruhen ekuacionet e tangjenteve me elipsin 8x2 + y2 = 8, të cilat formojnë me boshtin e abshisave këndin 45º.USHTRIME8.11 Ushtrime Shembulli 1Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve ndaj elipsit x230 + y224 = 1, të cilat janë paralele me drejtëzën d: y = 2x + 5.ZgjidhjeKoeficienti këndor i tangjentes është i barabartë me koeficientin këndor të drejtëzës, pra kd = kt = 2. Ekuacioni i tangjentes së kërkuar është y = 2x + t. Nga kushti i tangjencës, kemi:30 × 4 + 24 = t2 Þ t = ±12.Tangjentet e kërkuara janë: y = 2x + 12 dhe y = 2x – 12.Shembulli 2Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve të përbashkëta të elipseve: x25 + y24 = 1 dhe x24 + y25 = 1.ZgjidhjeEkuacioni i tangjentes është y = kx + t. Nga kushti i tangjencës, kemi:{5k2 + 4 = t24k2 + 5 = t2 ⇒ {k = ±1t = ±3Janë katër tangjente të përbashkëta: y = x + 3; y = x – 3; y = –x + 3; y = –x – 3.Fig. 8.34yxB1T1T2A1OBMA 1 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve me elipsin x264 + y236 = 1, të cilat formojnë me boshtin e abshisave këndin 1350.2 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve me elipsin x220 + y25 = 1, të cilat janë pingule me drejtëzën y = x + 7.3 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve me elipsin x25 + y24 = 1, të cilat janë paralele me drejtëzën y = 3x + 2.4 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve me elipsin x230 + y224 = 1, të cilat janë paralele me drejtëzën y = 2x – 3 dhe të gjendet largesa ndërmjet tyre.5 Elipsi është tangjent me drejtëzën x + 2y – 4 = 0 dhe kalon nga pika (2; 1). Të shkruhet ekuacioni i tij.6 Drejtëza x – 2y + 6 = 0 është tangjente me elipsin x220 + y4 = 1. Të gjendet pika e takimit të tyre.7 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve ndaj elipsit x215 + y29 = 1, të ndërtuara nga pika (–6; 3).