Page 228 - Demo

226MATEMATIKA 128.12 Ushtrime për përpunim të njohuriveShembulli 1Të shkruhet ekuacioni i elipsit, i cili i ka vatrat në pikat e prerjes së rrethit x2 + y2 + 2y – 8 = 0 me boshtin e abshisave dhe kalon nga qendra e këtij rrethi.ZgjidhjeGjejmë fillimisht ekuacionin më të thjeshtë të rrethit të dhënë. Kemi:x2 + y2 + 2y – 8 = 0 Þ x2 + (y2 + 2y + 1) – 8 – 1 = 0 Þx2 + (y + 1)2 = 9.Qendra e tij është Q(0; –1).Gjejmë pikat e prerjes së këtij rrethi me boshtin e abshisave. Kemi:x2 = 8 ⇒ x = ± 8 = ±2 2. Nga kushti, vatrat e elipsit janë F1 (–2 2; 0) dhe F2 (2 2; 0).Gjithashtu, c = 2 2.Ekuacioni i elipsit është x2a2 + y2b2 = 1. Meqë elipsi kalon nga pika Q(0, – 1), koordinatat e kësaj pike vërtetojnë ekuacionin e tij. Kemi:1b2 = 1 ⇒ b2 = 1. Nga barazimi a2 = b2 + c2 gjejmë a2. Kemi: a2 = 1 + (2 2)2 = 1 + 8 = 9. Ekuacioni i elipsit është x29 + y2 = 1.Shembulli 2Në pikën M(–4; 3) të elipsit x232 + y218 = 1 ndërtohet tangjentja me të. Të gjendet syprina e trekëndëshit të formuar nga kjo tangjente dhe boshtet koordinative.ZgjidhjeKërkohet syprina e trekëndëshit POQ (fig. 8.35).Fig.8.35yA x 1QPMB1OBA Gjejmë fillimisht ekuacionin e tangjentes PQ. Kemi:x · (–4)32 + y · 318 = 1 ⇒ 3x – 4y + 24 = 0. Gjejmë pikat e prerjes së kësaj tangjenteje me boshtet koordinative.yP = 0 Þ xP = –8 Þ OP = 8 njësi;xQ = 0 Þ yQ = 6 Þ OQ = 6 njësi.SPOQ = 12 · OP · OQ = 12 · 8 · 6 = 24 njësi katrore.1 Të shkruhet ekuacioni i rrethit, në qoftë se pikat A(1; 4) dhe B(–3; 2) janë skaje të një diametri të tij.2 Të shkruhet ekuacioni i rrethit me qendër Q(9; 5), i cili është tangjent me drejtëzën 3x + 4y – 12 = 0.3 Të shkruhet ekuacioni i rrethit me qendër (–3; 2), i cili është tangjent me boshtin e abshisave.4 Të shkruhet ekuacioni i rrethit që kalon nga pikat (0; 6); (8; 0) dhe (0; 0).5 Të gjendet largesa ndërmjet qendrave të rrathëve x2 + y2 = 5 dhe x2 + y2 – 6x + 12y + 36 = 0.6 Të shkruhet ekuacioni i elipsit që kalon nga pika M(2; – 53) dhe e ka jashtëqendërsinë e = 23.7 Të shkruhet ekuacioni i elipsit me bosht të madh 6 dhe jashtëqendërsi e = 23.8 Të shkruhet ekuacioni i elipsit me largesë ndërmjet vatrave 8 dhe njërin kulm B(0; 6).9 Të gjendet largesa ndërmjet vatrave të elipsit 9x2 + 144y2 = 1296.10 Të gjendet jashtëqendërsia e elipsit, në qoftë se largesa ndërmjet vijave drejtuese është dy herë më e madhe sesa largesa ndërmjet vatrave.11 Boshti i vogël i elipsit shihet nga vatrat nën këndin 60º. Të gjendet jashtëqendërsia e tij.12 Të shkruhet ekuacioni i tangjentes me elipsin x2 + 2y2 = 9 në pikën (1; 2) të tij.13 Të shkruhet ekuacioni i elipsit, në qoftë se b = 4 dhee = 215 . Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve të këtij elipsi, të cilat janë pingule me drejtëzën y = 12 x – 1.14 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve të përbashkëtatë elipseve: x26 + y2 = 1 dhe x24 + y29 = 1.USHTRIME