Page 231 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE2299.1 Teorema Ferma. Teorema e LagranzhitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. a) Skiconi grafikun e funksionit y = x2 dhe gjeni pikën ku ky funksion ka ekstremum. b) Gjeni vlerën e derivatit në këtë pikë. c) Veproni në të njëjtën mënyrë për funksionin y = sinx, x∈[0, 2π]. 2. a) Skiconi grafikun e funksionit y = |x|. b) Tregoni nga grafiku pikën ku ky funksion ka ekstremum dhe shihni nëse funksioni ka derivat në këtë pikë.3. Është dhënë funksioni f: y = x2. a) Gjeni ordinatat e pikave M1, M2 të grafikut me abshisa përkatësisht x1 = 1, x2 = 3. b) Gjeni koeficientin këndor k të drejtëzës M1M2. c) A ekziston ndonjë pikë C e intervalit ]1, 3[, ku derivati i funksionit f të jetë i barabartë me k? Gjeni këtë pikë. d) Ç’mund të thoni për tangjenten e grafikut të funksionit f në pikën me abshisë c?B Vrojtoni dhe mësoniNga shqyrtimi që kryet më lart, ju mund të nxirrni këtë përfundim të përgjithshëm: Pika të dyshimta, ku një funksion f mund të ketë ekstremum, janë vetëm pikat në të cilat funksioni f nuk ka derivat ose ku derivati është zero (në pikat përgjegjëse të grafikut nuk kemi tangjente ose tangjentja është paralele me boshtin Ox) (figura 9.1/a, b).Këtë e pohon teorema e mëposhtme (që ne do ta pranojmë pa vërtetim).a - δ a a + δ a a2a) b)Oyx OyxFig. 9.1Teorema FermaNëse funksioni f, i derivueshëm në intervalin I, ka ekstremum në pikën a∈I, atëherë f’(a) = 0.Teorema e LagranzhitNëse funksioni f është i derivueshëm në intervalin I dhe x1, x2 janë dy pika çfarëdo të këtij intervali, atëherë ekziston të paktën një pikë c, ndërmjet pikave x1, x2, e tillë që: f(x2) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1) (1)Nga kjo teoremë rrjedh që, nëse funksioni f ka derivat të ndryshëm nga zero në çdo pikë të intervalit I, atëherë ky funksion nuk ka ekstremum në këtë interval (pse?).Ferma tregon që kushti f’(a) = 0 është i nevojshëm që funksioni f (i derivueshëm) të ketë ekstremum në pikën x = a. Por ky kusht nuk është i mjaftueshëm që ky funksion të ketë ekstremum në pikën a, siç e patë në ushtrimin e mësipërm.Ushtrim. Jepni një shembull të një funksioni numerik f që ka derivat f`(a) = 0, por që nuk ka ekstremum në pikën a.Do ta pranojmë pa vërtetim këtë teoremë të rëndësishme: