Page 232 - Demo

230MATEMATIKA 12Le të sqarojmë gjeometrikisht përmbajtjen e kësaj teoreme (figura 9.2).Barazimi (1) mund të shkruhet në trajtën:f(x2) – f(x1)x2 – x1 = f'(c) (2)Ana e majtë në barazimin (2) paraqet koeficientin këndor të drejtëzës (M1, M2) (ku M1 dhe M2 janë pikat e grafikut që kanë abshisa përkatësisht x1 dhe x2). Ana e djathtë e barazimit (2) paraqet koeficientin këndor të tangjentes së grafikut në pikën C me abshisë c. Barazimi (2) tregon se tangjentja në pikën C është paralele me drejtëzën (M1, M2), sepse kanë koeficiente këndore të barabarta. Shqyrtimi i figurës 9.2 na bind se pika C, që vërteton barazimin (1), mund të mos jetë e vetme. E tillë është p.sh. edhe pika D.Shembulli 1Për funksionin f: y = x2 – 3x + 1, në segmentin [0, 4], të gjejmë pikën c sipas teoremës së Lagranzhit.Kemi f’(x) = 2x – 3, prandaj f’(c) = 2c – 3. Por f(4) = 5 dhe f(0) = 1. Sipas teoremës së Lagranzhit, kemi f(4) – f(0) = f’(c) · (4 – 0), d.m.th. 5 – 1 = (2c – 3) · 4, prej ku gjejmë c = 2.Rrjedhimi 1Nëse funksioni f e ka derivatin zero në çdo pikë të intervalit I, atëherë ky funksion është konstant në këtë interval.Në të vërtetë, le ta zëmë se për çdo x∈I kemi f’(x) = 0.Zbatojmë teoremën e Lagranzhit, duke menduar x1 si pikë të palëvizshme dhe duke marrë x2 = x, ku x është një pikë çfarëdo e intervalit I (x ≠ x1). Kemi f(x) – f(x1) = f’(c) · (x – x1) (ku c është pikë ndërmjet x1 dhe x, d.m.th. pikë e intervalit I). Prandaj, f’(c) = 0 dhe nga barazimi i mësipërm rrjedh f(x) – f(x1) = 0, pra f(x) = f(x1), për çdo x∈I. Kjo do të thotë që f është konstante në I.Shembulli 2Shqyrtojmë funksionin f: y = sin2x + cos2x. Për çdo x∈I, kemi f’(x) = (sin2x)’ + (cos2x)’ = 2 sinx . (sinx)’ + 2 cosx . (cosx)’f’(x) = 2 sinx . cosx + 2 cosx (–sinx); f’(x) = 0, për çdo x∈I. Kështu funksioni f është konstant në R, d.m.th. sin2x + cos2x = c, për çdo x∈R. Për të gjetur c, në barazimin e mësipërm, zëvendësojmë x me 0 dhe marrim sin20 + cos20 = c, d.m.th. c = 1. Kështu, për çdo x∈R, kemi sin2x + cos2x = 1 (formulë e njohur e trigonometrisë).Rrjedhimi 2Nëse funksionet f dhe g i kanë derivatet të barabarta në çdo pikë të intervalit I, atëherë ndryshesa e këtyre funksioneve është konstante në këtë interval.Vërtetoni vetë këtë rrjedhim duke shqyrtuar derivatin e ndryshesës d(x) = f(x) – g(x).Fig. 9.2cCDx2M2x1M1Oyx