Page 234 - Demo

232MATEMATIKA 129.2 Studimi i monotonisë së funksionitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Është dhënë funksioni f: y = –x2 + 1: a) Skiconi grafikun dhe jepni në bazë të tij tabelën e variacionit të funksionit. b) Njehsoni derivatin f’(x) dhe studioni shenjën e tij. c) Krahasoni intervalet e monotonisë së f me intervalet ku f’(x) ruan shenjë. Ç’vini re? d) Kontrolloni hamendjen tuaj duke bërë të njëjtën punë me funksionin y = 1x , x∈R*.B Vrojtoni dhe mësoniNjë metodë e fuqishme për të studiuar monotoninë e funksionit në një bashkësi A është ajo që mbështetet në studimin e shenjës së derivatit të tij.Teorema 1Nëse funksioni f ka derivat pozitiv në çdo pikë të intervalit I, atëherë ky funksion është rritës në intervalin I.VërtetimLe të jenë x1, x2 dy pika çfarëdo të intervalit I, të tilla që x2 > x1. Meqenëse funksioni f ka derivat në çdo pikë të intervalit I, atëherë në bazë të teoremës së Lagranzhit, shkruajmë:(1) f(x2) – f(x1) = f’(c) . (x2 – x1), ku x1 < c < x2.Meqenëse pika c i përket intervalit I (pse?) kemi f’(c) > 0 (nga kushti i teoremës). Meqë x2 > x1 kemi x2 – x1 > 0. Ana e djathtë e barazimit (1), si prodhim dy faktorësh pozitivë, del pozitive. Pra, f(x2) – f(x1) > 0, d.m.th. f(x2) > f(x1).Treguam kështu që për çdo dy x1, x2 ∈I, nga x2 > x1 rrjedh f(x2) – f(x1) > 0. Kjo do të thotë që funksioni f është rritës në intervalin I.Shembulli 1Të shqyrtohet monotonia e funksionit f: y = –x2 + 4x + 5. ZgjidhjePër çdo x∈R kemi f’(x) = –2x + 4. Studiojmë shenjën e binomit të fuqisë së parë (–2x + 4). Gjejmë rrënjën e tij, pra –2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.Bëni tabelën. Shihni që në intervalin ] –∞, 2[ kemi f’(x) > 0, prandaj funksioni është rritës (teorema 1). Në intervalin ]2, +∞[ kemi f’(x) < 0, prandaj funksioni është zbritës (teorema 2).