Page 236 - Demo

234MATEMATIKA 129.3 Kushte të mjaftueshme për ekzistencën e ekstremumeveA Kërkoni dhe zbuloniShqyrtoni funksionin y = 13 x3 + 2x2 + 4x. A ka ekstremum ky funksion? Pse?B Vrojtoni dhe mësoniTeorema 1Në qoftë se funksioni f, i cili është i derivueshëm në intervalin ]a – r, a + r [ dhe f’(a) = 0, ka derivat pozitiv në çdo pikë të intervalit ]a – r, a[ dhe derivat negativ në çdo pikë të intervalit ]a, a + r [, atëherë ky funksion ka maksimum për x = a. Skematikisht, kushti dhe përfundimi i kësaj teoreme mund të paraqiten me tabelën djathtas (fig. 9.3): Teorema 2Në qoftë se funksioni f, i cili është i derivueshëm në intervalin]a – r, a + r [ dhe f’(a) = 0, ka derivat negativ në çdo pikë të intervalit ]a – r, a[, dhe derivat pozitiv në çdo pikë të intervalit]a, a + r [, atëherë ky funksion ka minimum për x = a.Skematikisht, kushti dhe përfundimi i kësaj teoreme paraqiten në tabelën djathtas (fig. 9.4):Shembulli 1Të gjenden ekstremumet e funksionit f: y = x3 – 12x + 1. ZgjidhjePër çdo x∈R, kemi f’(x) = 3x2 – 12. Studiojmë shenjën e f’(x), d.m.th. shenjën e trinomit të fuqisë së dytë 3x2 – 12. Gjejmë në fillim rrënjët e ekuacionit: 3x2 – 12 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ (x = 2 ose x = –2). Për x = –2, funksioni ka maksimum (teorema 1). Ky maksimum është f(–2) = (–2)3 – 12(–2) + 1 = 17. Për x = 2, funksioni ka minimum (teorema 2). Ky minimum është f(2) = (2)3 – 12(2) + 1 = – 15 (fig. 9.5).Fig. 9.3 max+ –xf '(x)fa – r a0a + rFig. 9.4min–xf '(x)fa – r a a + r0 +Fig. 9.5max min+ – +xf–∞ –2 2 +∞f '(x) 0 0