Page 238 - Demo

236MATEMATIKA 129.4 UshtrimeShembulli 1Të studiohet monotonia dhe të gjenden ekstremumet e funksionit: f: y = x2 · ex.ZgjidhjeBashkësia e përcaktimit është R.Për çdo x∈R, ekziston f’(x) dhe është:f’(x) = (x2 · ex)’ = (x2)’ · ex + x2 · (ex)’ = 2x · ex + x2 · ex = ex(2x + x2).f’(x) = 0 ⇔ ex(2x + x2) = 0 ⇔ (2x + x2) = 0, sepse për çdo x∈R kemi ex > 0.Ekuacioni 2x + x2 = 0 ka dy rrënjë: x1 = 0; x2 = –2.Meqenëse për çdo x∈R kemi ex > 0, shenja e f’(x) është e njëjtë me shenjën e trinomit të fuqisë së dytë 2x + x2. Kemi tabelën në figurën 9.6.Funksioni është rritës në secilin nga intervalet ]–∞, –2[ dhe ]0, +∞[ dhe zbritës në intervalin ]–2, 0[. Ai ka në pikën x = – 2 një maksimum që është: f(–2) = (–2)2 · e–2 = 4e2. Funksioni ka në pikën x = 0 një minimum që është: f(0) = 02 · e0 = 0.Shembulli 2Të studiohet monotonia dhe të gjenden ekstremumet e funksionit: f: y = x · a2 – x2 (a > 0).ZgjidhjeBashkësia e përcaktimit të funksionit është bashkësia e vlerave të x që plotësojnë kushtin: a2 – x2 ≥ 0. Duke zgjidhur këtë inekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore, gjejmë që bashkësia e përcaktimit është segmenti [–a, a].Për çdo vlerë të x nga intervali ] – a, a[ ekziston f’(x) dhe është: f’(x) = (x)’· a2 – x2 + x · ( a2 – x2)’ = a2 – x2 + x · (a2 – x2)'2 a2 – x2 = = a2 – x2 + x · (–2x)2 a2 – x2 = a2 – x2 · a2 – x2 – x2a2 – x2 = a2 – x2 – x2a2 – x2 . Pra, f’(x) = a2 – 2x2a2 – x2 .Për x∈]–a, a[ kemi a2 – x2 > 0, prandaj f’(x) = 0 ⇔ (a2 – 2x2 = 0) dhe shenja e f’(x) përcaktohet nga shenja e trinomit të fuqisë së dytë a2 – 2x2. Kemi:a2 – 2x2 = 0 ⇔ x2 = a22 ⇔ (x = a2 ose x = – a2).Për lehtësi, shenjën e trinomit a2 – 2x2 e shqyrtojmë në intervalin ]–∞, +∞[, kurse funksionin dhe derivatin e tij në intervalin ]–a, a[. Shohim tabelën në fig. 9.7.Nxirrni nga kjo tabelë përfundimet për monotoninë dhe ekstremumet e funksionit f: y = x a2 – x2 në [–a, a].Fig. 9.6max min+ – +xf–∞ –2 0 +∞f '(x) 0 0Fig. 9.7min max– – – + –xf '(x) a – –∞ –a 2 a +∞– – +a2 – x2f (x) a +20000