Page 239 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE237USHTRIMEVërejtje. Në disa raste, gjetja e ekstremumeve të funksionit bëhet më lehtë duke përdorur teoremën e mëposhtme, që ne do ta pranojmë pa vërtetim:TeoremëNëse funksioni f ka në çdo pikë të intervalit I derivat të parë e të dytë dhe në pikën a∈I kemi f’(a) = 0 dhe f”(a) ≠ 0, atëherë ky funksion ka në pikën a ekstremum. Ky ekstremum është maksimum kur f”(a) < 0 dhe minimum kur f”(a) > 0.Shembulli 3Të gjenden ekstremumet e funksionit f: y = x – 2sinx, ku x∈]0, 2π[.ZgjidhjeFunksioni f ka në çdo pikë të intervalit ]0, 2π[ derivat të parë dhe derivat të dytë.Kemi: f’(x) = 1 – 2cosx dhe f”(x) = 2sinx. Për gjetjen e pikave ku funksioni ka ekstremum, mjafton të gjejmë pikat e intervalit ]0, 2π[, ku f’(x) = 0 dhe të studiojmë shenjën e f”(x) në secilën prej tyre.f’(x) = 0 ⇔ 1 – 2cosx = 0 ⇔ cosx = 12 ⇔ cosx = cos π3 . Ky ekuacion në R ka një pafundësi zgjidhjesh, që jepen nga formula x = 2kπ ± π3 (k – numër i plotë). Por në ]0, 2π[ ekuacioni ka vetëm dy zgjidhje: x1 = π3 ; x2 = 2π – π3 = 5π3 . f”( π3 ) = 2 · sin π3 = 2 · 32 = 3, d.m.th. f”( π3 ) > 0. Në pikën x1 = π3 funksioni ka minimum.f”(5π3 ) = 2sin 5π3 = 2(– 32 ) = – 3, d.m.th. f”(5π3 ) < 0. Në pikën x2 = 5π3 , funksioni ka maksimum.1 Studioni monotoninë dhe gjeni ekstremumet e funksionit:a) y = x3 – 6x2;b) y = – 53 x3 – 2x2 + 5x – 6;c) y = x2(x – 2)2.2 E njëjta kërkesë për funksionin: a) y = 2x – 3 1 + x ; b) y = x2 – 3 x – 2 .3 E njëjta kërkesë për funksionin: a) y = 1 – x2; b) y = x2 + 2 .4 Gjeni bashkësinë e përcaktimit, studioni monotoninë dhe gjeni ekstremumet e funksionit:a) y = x 1 – x22 ; b) y = (x + r) · r2 – x22 .5 E njëjta kërkesë për funksionin: a) y = x 2x + 1 ; b) y = x + 1x – 2 .6 E njëjta kërkesë për funksionin: a) y = e – x22 ;b) y = x · e–x; c) y = (x2) · e–x.7 E njëjta kërkesë për funksionin:a) y = x – ex; b) y = x + sinx;c) y = esinx; d) y = cosx – 2x.8 Studioni monotoninë e funksionit y = ax2 + 3 sipas vlerave të parametrit a (a ∈R).9 Për ç’vlera të parametrit a funksioni y = x3 – ax2 + x – 5 është rritës në R?