Page 240 - Demo

238MATEMATIKA 129.5 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit të vazhdueshëmA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. a) Skiconi grafikun e një funksioni të vazhdueshëm në intervalin ]a, b[, që të ketë në të një ekstremum të vetëm dhe pikërisht maksimum. Ç’mund të thoni për vlerën më të madhe të këtij funksioni në intervalin ]a, b[? Po për vlerën më të vogël të tij në intervalin ]a, b[?b) Skiconi grafikun e një funksioni të vazhdueshëm në intervalin ]a, b[, që të ketë në të një ekstremum të vetëm dhe pikërisht minimum. Përgjigjuni dy pyetjeve si në kërkesën a).B Vrojtoni dhe mësoniDimë se: Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin [a, b], atëherë ai merr në këtë segment vlerën e vet më të madhe dhe vlerën e vet më të vogël.Funksioni f, i vazhdueshëm në segmentin [a, b], vlerën e tij më të madhe e merr ose në një pikë të brendshme të segmentit [a, b] (dhe në këtë pikë është e qartë që do të ketë maksimum), ose në skajet e këtij segmenti. Vlerën e tij më të vogël në segmentin [a, b], ky funksion e merr ose në ndonjë pikë të brendshme të segmentit (dhe në këtë pikë është e qartë që do të ketë minimum), ose në skajet e këtij segmenti.Metodë. Për të gjetur vlerën më të madhe dhe vlerën më të vogël të një funksioni f të vazhdueshëm në segmentin [a, b], zbatojmë tre hapat e mëposhtëm:1. gjejmë të gjitha ekstremumet e funksionit për x∈[a, b]; 2. njehsojmë vlerat në skajet f(a), f(b); 3. krahasojmë të gjithë këta numra. Më i madhi prej tyre është vlera më e madhe e f në [a, b], kurse më i vogli prej tyre është vlera më e vogël e f në [a, b].Shembulli 1Të gjendet vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit f: y = 2x3 – 3x2 – 12x + 2 në segmentin [–2, 0].Zgjidhje Ky funksion është i derivueshëm në R, pra edhe në segmentin [–2, 0]. Si rrjedhojë, ai është i vazhdueshëm në këtë segment.1) Gjejmë ekstremumet e funksionit. Për çdo x∈R, kemi f’(x) = 6x2 – 6x – 12.Gjejmë pikat ku f’(x) = 0 dhe studiojmë shenjën e derivatit f’(x). Për këtë, gjejmë në fillim rrënjët e trinomit të fuqisë së dytë 6x2 – 6x – 12 = 0 ⇔ x2 – x – 2 = 0. Ky ekuacion ka dy rrënjë reale x1 = – 1; x2 = 2.Duke studiuar shenjën e këtij trinomi, nxjerrim këto përfundime për ekstremumet e funksionit (fig. 9.8): Fig. 9.8max min+ – +xf '(x)f–∞ –1 2 +∞0 0