Page 241 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE239Për x = –1, funksioni ka maksimum. Ky është f(–1) = 2 . (–1)3 – 3 . (–1)2 – 12 . ( – 1) + 2, d.m.th.f(–1) = 9. Për x = 2, funksioni ka minimum, por kjo pikë nuk i përket segmentit të shqyrtuar.2) Gjejmë vlerat në skajet f(–2) = 2 . (–2)3 – 3 . (–2)2 – 12 . (–2) + 2 = –2. Kurse f(0) = 2. 3) Duke krahasuar numrat 9, –2 dhe 2, shohim që vlera më e madhe e funksionit f në segmentin [–2, 0] është 9; ajo merret për x = –1. Vlera më e vogël e funksionit f në segmentin [– 2, 0] është –2; ajo merret për x = –2.TeoremëNëse funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin ]a, b[ dhe ka në këtë interval vetëm një ekstremum,atëherë: a) kur ky ekstremum është maksimum, ai është vlera më e madhe e funksionit në intervalin ]a, b[;b) kur ky ekstremum është minimum, ai është vlera më e vogël e funksionit në intervalin ]a, b[.Teoremën do ta pranojmë pa vërtetim. Ajo mbetet e vërtetë edhe për funksionin e vazhdueshëm në segmentin [a, b].Shembulli 2Të gjendet vlera më e vogël e funksionit f: y = 4x + 1x në ]0, +∞[.ZgjidhjeBashkësia e përcaktimit të këtij funksioni është E = {x∈R/x ≠ 0}, d.m.th. E = R*. Funksioni është i derivueshëm në R*, pra edhe në intervalin ]0, +∞[. Si rrjedhojë, ai është i vazhdueshëm në këtë interval. Gjejmë ekstremumet e funksionit për x∈]0, +∞[.Për çdo x ≠ 0, kemi f’(x) = 4 – 1x2, d.m.th. f’(x) = 4x2 – 1 x2 .Meqë x2 > 0 për çdo x ≠ 0, shenja e derivatit f’(x) përcaktohet nga shenja e trinomit të fuqisë së dytë 4x2 – 1. 4x2 – 1 = 0 ⇔ x2 = 14 ⇔ (x = 12 ose x = – 12 ). Duke studiuar shenjën e trinomit, nxjerrim këtopërfundime për ekstremumet e funksionit:Në intervalin ]0, +∞[ funksioni ka një ekstremum të vetëm. Ai merret për x = 12 dhe është minimum.Në bazë të teoremës 2 rrjedh që f( 12 ) është vlera më e vogël e funksionit f në ]0, +∞[. Kemi f( 12 ) = 4 · 12 + 10.5 = 4. Pra, për çdo x∈]0, +∞[, kemi 4x + 1x ≥4.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Tregoni që vlera më e madhe e funksionit f: y = 4x + 1x në ]0, +∞[ nuk ekziston.2. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit f në segmentin e dhënë, nëse:a) y = 2x – x2, x∈[1, 4];b) y = 6x2 – x + 1, x∈[0, 1].