Page 243 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE2419.6 Problema në kërkim të vlerës më të madhe (më të vogël) të funksionitA Kërkoni dhe zbuloni Ndër gjithë drejtkëndëshat me perimetër 16 cm dhe me gjatësi brinjësh numra të plotë, cili e ka syprinën më të madhe? Tregoni arsyetimin tuaj.B Vrojtoni dhe mësoniProblema 1Nga një copë kartoni në formë katrori, me brinjë 12 cm, kërkohet të bëhet një kuti pa kapak, duke prerë nëpër qoshe katrorë të barabartë dhe duke përthyer pjesët e dala për të formuar faqet anësore të kutisë. Sa duhet të merret brinja për katrorët që priten, në mënyrë që vëllimi i kutisë së formuar të jetë më i madhi?Zgjidhje1. Shënojmë me x brinjën e katrorit që pritet në një qoshe (x = A1E = A1K). Le të shprehim vëllimin V të kutisë nëpërmjet x(fig. 9.9). Shënojmë me y brinjën e bazës së kutisë (y = A1B1). Kutia e përftuar është kuboid, prandaj vëllimi i saj është i barabartë me prodhimin e lartësisë me syprinën e bazës (baza është katrori A1B1C1D1). Pra V = y 2· x. Të shprehim V vetëm nëpërmjet x.Nga kushti kemi: LE = 12 cm, d.m.th. x + y + x = 12, që nga y = 12 – 2x. Si rrjedhim, V = (12 – 2x)2 · x. Ndryshe, V = (144 – 48x + 4x2) · x.2. Gjejmë bashkësinë X të vlerave të mundshme të x.Kemi: {x > 0y > 0 ⇔ {x > 012 – 2x > 0 ⇔ 0 < x < 6. Pra, x është element i intervalit ]0, 6[.3. Problema jonë kthehet në këtë problemë të analizës matematike. “Për ç’vlerë të ndryshores x,funksioni V = 144x – 48 x2 + 4x3 merr vlerën më të madhe në intervalin ]0, 6[?4. Për të dhënë përgjigjen, gjejmë ekstremumet e funksionit në ]0, 6[, duke studiuar shenjën e derivatit të tij. Kemi V(x) = 144x – 48x2 + 4x3, prandaj V’(x) = 144 – 96x + 12x2. E barazojmë me 0.V’(x) = 0 ⇔ 12x2 – 96x + 144 = 0 ⇔ x2 – 8x + 12 = 0. Ky ekuacion ka dy rrënjë reale: x1 = 2; x2 = 6. Studiojmë shenjën e derivatit. Marrim tabelën në fig. 9.10:5. Funksioni V është i derivueshëm në ]0, 6[ dhe ka në të një ekstremum të vetëm që merret për x = 2. Meqë ky ekstremum është maksimum, ai është vlera më e madhe e funksionit në ]0, 6[. Kështu, vëllimi më i madh i kutisë merret kur brinja e katrorit që pritet është x = 2cm; vlera më e madhe e vëllimit është: V(2) = 128 cm3.D LxKA ExDyA y 1 B1C1BCFig. 9.9max+ + – +xV'(x)V (x)–∞ 0 2 6 +∞0 0Fig. 9.10