Page 244 - Demo

242MATEMATIKA 12Problema 2Duhet të ndërtohet një kuti në formën e cilindrit rrethor të drejtë, e mbyllur lart e poshtë dhe me vëllim të njohur 250π cm3. Të caktohen përmasat e kutisë në mënyrë që të harxhohet sasia më e vogël e materialit për ndërtimin e saj.Zgjidhje 1. Sasia e harxhuar e materialit do të jetë më e vogël, kur syprina e përgjithshme e kutisë të jetë më e vogla.Shënojmë me x rrezen e bazës së cilindrit rrethor të drejtë dhe me h lartësinë e tij (fig. 9.11).Të shprehim syprinën e përgjithshme nëpërmjet x. Ajo është: S = Sa + 2Sb, d.m.th. S = 2πxh + 2πx2. Vëllimi i kutisë është V = π x2 · h. Kemi pra, πx2 · h = 250 · π, prej nganxjerrim: h = 250x2 . Si rrjedhim, S = 2πx · 250x2 + 2πx2, d.m.th. S = 500πx + 2πx2.2. Gjejmë bashkësinë X të vlerave të mundshme të ndryshores x. I vetmi kusht për ndryshoren x është x > 0. Prandaj x = ]0, +∞[.3. Problema jonë kthehet në këtë problemë të analizës matematike:“Kërkohet vlera më e vogël e funksionit S = 500πx + 2πx2 në intervalin ]0, +∞[”.4. Gjejmë ekstremumet e këtij funksioni në këtë interval. Funksioni S = 500πx + 2πx2 është i derivueshëm në intervalin ]0, +∞[ dhe, për çdo x nga ky interval, kemi:S’(x) = – 500πx2 + 4πx, d.m.th. S’(x) = 4π(x3 – 125)x2 . Për x > 0 kemi 4πx2 > 0, prandaj shenja e S’(x) përcaktohet si shenja e shprehjes x3 – 125, e cila zbërthehet kështu: x3 – 125 = x3 – 53 = (x – 5) (x2 + 5x + 25). Trinomi x2 + 5x + 25 e ka dallorin negativ, prandaj për çdo vlerë të x kemi x2 + 5x + 25 > 0. Si rrjedhim, shenja e shprehjes x3 – 125 [d.m.th. edhe shenja e S’(x)] përcaktohet nga shenja e binomit të fuqisë së parë x – 5. Kemi tabelën në fig. 9.12:5. Është e qartë që funksioni S vlerën më të vogël në ]0, +∞[ e merr për x = 5 cm (pse?). Duke e njehsuar vlerën përkatëse të lartësisë h sipas formulës h = 250x2 gjejmë h = 10 cm. Pra, që kutia cilindrike e shqyrtuar të ndërtohet duke harxhuar sa më pak material, duhet e mjafton që lartësia e saj të jetë sa diametri i bazës.MetodëShqyrtimi i dy problemave të mësipërme paraqet një metodë për zgjidhjen e problemave, në të cilat kërkohet vlera më e madhe (më e vogël) e një madhësie konkrete z.1. Zgjedhim në mënyrë të përshtatshme një ndryshore x dhe e shprehim madhësinë z vetëm nëpërmjet x: z = f(x).2. Gjejmë bashkësinë X të vlerave të mundshme të x.3. E kthejmë problemën konkrete në këtë problemë të analizës matematike: “Kërkohet vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit z = f(x) në bashkësinë X”.4. Gjejmë ekstremumet e funksionit (të derivueshëm) z = f(x) në bashkësinë X.5. Gjejmë vlerën më të madhe (më të vogël) të madhësisë z dhe interpretojmë praktikisht përfundimin e arritur.x001Fig. 9.11min– – +xS'(x)S–∞ 0 5 +∞– +x – 5 00Fig. 9.12