Page 248 - Demo

246MATEMATIKA 129.8 Lakueshmëria e vijës. Pikat e lakesës (infleksionit)A Kërkoni dhe zbuloni1. Studioni shenjën e derivatit të dytë të funksionit y = x3.2. Në cilin interval, grafiku i këtij funksioni është i mysët? I lugët? Nxirrni një përfundim.B Vrojtoni dhe mësoniËshtë dhënë një vijë pa këputje l, që paraqet grafikun e një funksioni f, të derivueshëm në intervalin I (fig. 9.16). Dihet që kjo vijë ka tangjente në çdo pikë të saj.Përkufizim 1Nëse tangjentja në çdo pikë të vijës l ndodhet nën vijë, vija l quhet e lugët në I. Përkufizim 2Nëse tangjentja në çdo pikë të vijës l ndodhet mbi vijë, vija l quhet e mysët në I.Përkufizim 3Pika e vijës l që lidh një pjesë të lugët me një pjesë të mysët të saj quhet pikë lakese (pikë infleksioni) e vijës. P.sh. vija l e paraqitur në figurën 9.17 është e mysët në pjesën DC të saj (pra, për x ∈]–2, 0[) dhe e lugët në pjesën CE të saj (pra, për x ∈]0, 2[). Pika C është pikë infleksioni e vijës.Do të pranojmë pa vërtetim këto teorema:Teorema 1a) Në qoftë se funksioni f ka derivat të dytë f”(x), që është pozitiv për çdo vlerë të x-it nga intervali I, atëherë grafiku i këtij funksioni është i lugët në I.b) Në qoftë se funksioni f ka derivat të dytë f”(x), që është negativ për çdo vlerë të x-it nga intervali I, atëherë grafiku i këtij funksioni është i mysët në I.Teorema 2Në qoftë se funksioni f ka derivat të dytë në çdo pikë të intervalit ]a, b[ dhe derivati i dytë ndërron shenjë duke kaluar nga intervali ]a, c[ në intervalin ]c, b[, atëherë pika C, me abshisë c, është pikë lakese (infleksioni) për grafikun e këtij funksioni.Fig. 9.1733422–1 0 11xyCED B–2Fig. 9.16–1 0 1 2 3 xA yCB