Page 249 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE247Shembulli 1Të shqyrtohet lakueshmëria dhe të gjenden pikat e lakesës për grafikun e funksionit f: y = x4 – 6x2 + x + 1.ZgjidhjeNjehsojmë derivatin e dytë dhe studiojmë shenjën e tij.Për çdo x∈R kemi: f’(x) = 4x3 – 12x + 1 dhe f”(x) = 12x2 – 12f”(x) = 0 ⇔ 12x2 – 12 = 0 ⇔ x2 – 1 = 0 ⇔ (x = 1 ose x = –1)Plotësojmë tabelën (fig. 9.18):Grafiku është i lugët në secilin nga intervalet ]–∞, –1[ dhe ]1, +∞[ dhe është i mysët në intervalin ]–1, 1[. Pikat me abshisa x = –1; x = 1 janë pika lakese (infleksioni). Gjejmë ordinatat e tyre.f(–1) = (–1)4 –6(–1)2 + (–1) + 1 = –5; f(1) = 14 – 6 · 12 + 1 + 1 = –3.Pra, pika lakese (infleksioni) janë C1(–1; –5) dhe C2(1; –3).Shembulli 2Të shqyrtohet lakueshmëria e grafikut të funksionit f: y = cosx në ]0, π[.Zgjidhje Për çdo x∈R kemi: f’(x) = –sinx dhe f”(x) = –cosx. Duke ditur shenjën e kosinusit në kuadratin e parë dhe të dytë, plotësojmë tabelën në fig. 9.19:Kështu, funksioni y = cosx është i mysët në ]0, π2 [ dhe i lugët në ] π2 , π[. Pika C( π2 ; 0) është pikë lakese (fig. 9.20).p.inf– +xf ''(x)f (x)0 2 π π00–11 xyCπ2π Fig. 9.19 Fig. 9.20Shembulli 3Për funksionin f: y = ex, për çdo x∈R, kemi: f’(x) = ex dhe f”(x) = ex. Meqë ex > 0, për çdo x∈R, kemi: f’’(x) > 0 në R. Kështu, grafiku i funksionit f: y = ex është i lugët në R.C Ushtrohuni duke zbatuar1 Shqyrtoni lakueshmërinë dhe gjeni pikat e lakesës (infleksionit) për grafikun e funksionit:a) y = x3 – 4x2 + x + 7; b) y = x2(5 – x).2. Studioni lakueshmërinë e grafikut të funksionit y = sinx në ]0, π[.p.inf p.inf+ – +xf’’(x)f (x)–∞ –1 1 +∞0 0Fig. 9.18