Page 251 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE249A Kërkoni dhe zbuloniShqyrtoni monotoninë, lakueshmërinë dhe ndërtoni grafikun e funksionit y = –x2 + 1. B Vrojtoni dhe mësoniPërdorimi i derivatit për studimin e monotonisë dhe gjetjen e pikave të ekstremumit të funksionit na lejon të bëjmë një studim më të plotë të variacionit të tij dhe një skicim më të saktë të grafikut të tij, sipas kësaj ecurie.1. Gjejmë bashkësinë e përcaktimit të funksionit. 2. Shqyrtojmë çiftësinë e funksionit dhe shohim nëse funksioni është periodik.3. Njehsojmë derivatin e parë dhe studiojmë shenjën e tij. Sipas shenjës së derivatit, caktojmë intervalet ku funksioni është rritës dhe ku është zbritës. Gjejmë maksimumet dhe minimumet e funksionit.4. Njehsojmë derivatin e dytë dhe studiojmë shenjën e tij. Sipas shenjës së f’’(x), gjejmë ku është grafiku i mysët e ku është i lugët, gjejmë pikat e lakesës (infleksionit) të grafikut.5. Gjejmë (kur është rasti) limitet e funksionit, kur x → +∞ dhe x → –∞, ose vlerat në skajet (kur bashkësia e përcaktimit është segment). Gjejmë limitin e funksionit në pikat ku ai nuk është i përcaktuar.6. Gjejmë asimptotat horizontale dhe vertikale (nëse ka).7. Gjejmë pikat ku grafiku pret boshtet koordinative.8. Plotësojmë tabelën përmbledhëse të përfundimeve të gjetura më lart.9. Ndërtojmë grafikun e funksionit. Për më tepër saktësi, mund t’i japim x-it vlera ndihmëse dhe të gjejmë disa pika të tjera të grafikut.Shembulli 1Të shqyrtohet variacioni dhe të ndërtohet grafiku i funksionit y = –x3 + 3x – 2.Zgjidhje 1. Bashkësia e përcaktimit është R (pse?).2. f(–x) = –(–x)3 + 3(–x) – 2 = x3 – 3x – 2Funksioni nuk është as çift, as tek, sepse në R nuk vërtetohet asnjëri nga barazimet f(–x) = f(x) ose f(–x) = – f(x).Funksioni nuk është periodik. Me të vërtetë, nuk ekziston asnjë numër real T ≠ 0 i tillë që, për çdo x∈R, të kemi f(x + T) = f(x), sepse barazimi –(x + T)3 + 3(x + T) – 2 = – x3 + 3x – 2, merr pamjen –3x2T – 3xT2 – T3 + 3T = 0 dhe vërtetohet për çdo x∈R vetëm kur T = 0. 3. Për çdo x∈R, kemi f’(x) = –3x2 + 3.Studiojmë shenjën e f’(x), d.m.th. shenjën e trinomit të fuqisë së dytë –3x2 + 3.f’(x) = 0 ⇔ –3x2 + 3 = 0 ⇔ x2 – 1 ⇔ (x = 1 ose x = –1). Kemi tabelën në figurën 9.21. 9.9 Studimi i variacionit të funksionit y = ax3 + bx2 + cx + d, ku a ≠ 0min max– – +xf–∞ –1 1 +∞f '(x) 0 0Fig. 9.21