Page 254 - Demo

252MATEMATIKA 129.10 Variacioni i funksionit y = ax + bcx + dA Kërkoni dhe zbuloni Shqyrtoni variacionin dhe ndërtoni grafikun e funksionit f: y = – 1x + 2.B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1Të shqyrtohet variacioni dhe të ndërtohet grafiku i funksionit f: y = 2x – 14x + 2.Zgjidhje1. Funksioni është racional thyesor, prandaj është i përcaktuar për çdo vlerë të x të tillë që 4x + 2 ≠ 0, d.m.th. x ≠ – 12 . Pra, bashkësia e përcaktimit është X = {x∈R| x ≠ – 12 }. 2. f(–x) = 2(–x) – 14(–x) + 2 = – 2x – 1–4x + 2 . Funksioni nuk është as çift, as tek. Funksioni nuk është periodik (pse?).3. Për x ≠ – 12 kemi f’(x) = 2(4x + 2) – (2x – 1) · 4(4x + 2)2 = 8(4x + 2)2 .Vëmë re që f’(x) > 0 për x ≠ – 12 . Ndërtojmë tabelën (fig. 9.26).Funksioni është rritës në secilin nga intervalet ]–∞, – 12 [, ]– 12 , +∞[.Ai nuk ka pika ekstremumi. A është funksioni rritës në bashkësinë X?4. Gjejmë derivatin e dytë. Për x ≠ – 12 kemi f’’(x) = –8 · 2 · (4x + 2) · (4x + 2)'(4x + 2)4 = –16 · 4(4x + 2)3 = –64(4x + 2)3 .Shenja e f’’(x) është e kundërt me shenjën e (4x + 2). Kemi tabelën në figurën 9.27:5. a) lim x → +∞ f(x) = lim x → +∞2x4x = 12 ; lim x → –∞ f(x) = lim x → –∞2x4x = 12 .b) Pamë që funksioni nuk është i përcaktuar në pikën x = – 12 . Shohim limx → – 1+2(x > – 12)f(x) = limx → – 1+2(x > – 12)2x – 14x + 2 = –∞, sepse limx → – 12 (2x – 1) = – 2 ≠ 0; limx → – 1+2 (4x + 2) = 0+ dhe për x > – 12 e mjaft afër – 12 , thyesa 2x – 14x + 2 është negative. Njëlloj tregohet që limx → – 1–2(x < – 12)f(x) = +∞.6. a) Meqenëse lim x → +∞ f(x) = lim x → –∞ f(x) = 12 , atëherë drejtëza y = 12 është asimptotë horizontale e grafikut, kur x → +∞ ose kur x → –∞.b) Meqenëse limx → – 1+2(x > – 12)f(x) = –∞ dhe limx → – 1–2(x < – 12)f(x) = +∞, atëherë drejtëza x = – 12 është asimptotë vertikale e grafikut.+ +xf '(x)f–1 –∞ 2 +∞Fig. 9.264x + 2 ++ ––xf ''(x)f–1 –∞ 2 +∞Fig. 9.27