Page 255 - Demo

9. ZBATIME TË DERIVATEVE2537. a) Për të gjetur pikat e prerjes së grafikut me boshtin Ox, mjafton të zgjidhim sistemin y = 2x – 14x + 2y = 0⇔ 2x – 14x + 2 = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x 12 . Pika e prerjes është A( 12 ; 0). b) Për të gjetur pikat e prerjes së grafikut me boshtin Oy, mjafton të zgjidhim sistemin y = 2x – 14x + 2x = 0⇔ y = – 12 . Pika e prerjes është B(0; – 12 ). 8. Tabela përmbledhëse është tabela në figurën 9.28.Pika të grafikut janë A( 12 ; 0), B(0; – 12 ) 4x + 2 + ++ –xf ''(x)f–1 –∞ 2 +∞Fig. 9.289. Grafiku i funksionit y = 2x – 14x + 2 jepet në figurën 9.29.Vëmë re që ky grafik është një hiperbolë që ka si asimptota drejtëzat me ekuacione x = – 12 dhe y =12 .Shembulli 2Të tregohet që pika C(– 12 , 12 ) është qendër simetrie e grafikut të funksionit y = 2x – 14x + 2.ZgjidhjeLe të jetë M(x1, y1) një pikë çfarëdo e grafikut të këtij funksioni. Kjo do të thotë që y1 = 2x1 – 14x1 + 2Shënojmë N(xN; yN) pikën simetrike të M ndaj pikës C.Mjafton të vërtetojmë që edhe pika N i përket grafikut, d.m.th. që yN = 2xN – 14xN + 2.Kemi xN + x12 = xc d.m.th. xN = –1 – x1; që nga x1 = –1 – xN. Kemi gjithashtu yN + y12 = yc, d.m.th. yN = 1 – y1.Prandaj yN = 1 – 2x1 – 14x1 + 2 = 4x1 + 2 – 2x1 + 14x1 + 2 = 2x1 + 34x1 + 2 = 2(–1 – xN) + 34(–1 – xN) + 2 = –2xN + 1–4xN – 2Del yN = 2xN – 14xN + 2, pra pika N i përket grafikut, d.m.th. pika C(– 12 , 12 ) është qendër simetrie e grafikut të funksionit y = 2x – 14x + 2. Funksioni y = ax – bcx + d (ku c ≠ 0) quhet funksion homografik. Grafiku i tij është një hiperbolë që ka si asimptotë drejtëzat y = ac dhe x = – dc, kurse si qendër simetrie ka pikën e prerjes së tyre, d.m.th. pikën C (– dc ; ac ).Ky fakt, që ne po e pranojmë pa vërtetim, na lejon të skicojmë më thjesht grafikun e këtij funksioni, duke marrë disa pika ndihmëse në të dyja anët e asimptotës vertikale.Fig. 9.29112–1 0 xyCBA–2–1–2–412 –121212 –