Page 257 - Demo

2559. ZBATIME TË DERIVATEVE1 Nga të gjithë trekëndëshat kënddrejtë me hipotenuzë a, cili e ka syprinën më të madhe?ZgjidhjeMënyra e parë1. Shënojmë katetin AB me x (fig. 9.30) dhe katetin AC me y. Syprina e trekëndëshit kënddrejtë ABC (ku ^ BAC = 90º) është S = 12 x · y. Shprehim y nëpërmjet x. Duke zbatuar në këtë trekëndësh kënddrejtë teoremën e Pitagorës, marrim:x2 + y2 = a2, që nga y2 = a2 – x2, pra y = + a2 – x2. Kështu: S = 12 x a2 – x2.2. Kemi: 0 < AB < BC, pra 0 < x < a. Bashkësia e vlerave të mundshme të ndryshores x është ]0, a[.3. Kërkohet pra vlera më e madhe e funksionit S = 12 x a2 – x2 në ]0, a[. Duke gjetur ekstremumet e këtij funksioni të derivueshëm në ]0, a[ (gjë që është bërë në mësimet e kaluara), gjejmë që kjo vlerë merret për x = a2 dhe ajo është S = a24 . Trekëndëshi me syprinën më të madhe është trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm.Mënyra e dytë1. Shënojmë me α këndin e ngushtë ^ ABC. Kemi:ABBC = cos α, d.m.th. AB = a · cos α dhe ACBC = sin α, d.m.th. AC = a · sin α.Prandaj, S = 12 AB · AC, d.m.th. S = 12 a sin α · a cos α. Kështu, S = 12 a2sin α · cos α.2. Është e qartë që 0 < α < π2 . Pra, bashkësia e vlerave të mundshme të ndryshores α është ]0, π2 [.3. Kërkohet vlera më e madhe e funksionit S = 12 a2 · sin α · cos α në ]0, π2 [. Këtë vlerë më të madhe mund ta gjejmë edhe pa bërë studimin e shenjës së derivatit.Mund të shkruajmë sin α · cos α = 12 · sin(2α). Pra, S = 14 a2 · sin(2α). Është e qartë që S do të marrë vlerën më të madhe kur sin(2α) të marrë vlerën më të madhe. Por, vlera më e madhe e sin(2α) në ]0, π2 [ është 1; ajo merret kur 2 α = π2 , pra kur α = π4 .Kështu, vlera më e madhe e S merret kur α = π4 (d.m.th. kur trekëndëshi është kënddrejtë dybrinjënjëshëm) dhe ajo është 14 a2.2 Studioni monotoninë dhe gjeni ekstremumet e funksionit:a) y = 2x(x – 1); b) y = 12 x2 – 3x; c) y = x3 + 32 x2 – 6x + 5.3 E njëjta kërkesë për funksionin:a) y = x42 – 4x2 + 5; b) y = –x + 1x + 1.4 E njëjta kërkesë për funksionin:a) y = 4 – x2 ; b) y = x – cosx; c) y = x · e–x.9.11 UshtrimeACx BaαFig. 9.30