Page 26 - Demo

MATEMATIKA 121.6 Përsëritje. Çiftësia e funksionit. Funksionet periodikeA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. A mund të jetë çift një funksion me bashkësi përcaktimi [0, 1]? ] –1, 2[?2. Në figurën 1. 19 është dhënë një pjesë e grafikut të funksionit f që përmban të gjitha pikat e tij me abshisa x ≥ 0.Ndërtoni grafikun e funksionit, duke ditur që ky funksion është: a) çift; b) tek.3. A është periodik funksioni: a) y = 1; b) y = c; b) y = lnex.B Vrojtoni dhe mësoniFunksionet y = x2, y = |x| gëzojnë vetinë:(−x)2 = x2 dhe |−x| = |x| për çdo x∈R d.m.th. f(−x) = f(x), x∈R)Ka funksione numerike që për çdo vlerë të x nga një bashkësi e caktuar gëzojnë vetinë f(–x) = –f(x). Të tilla janë p.sh. funksionet y = x3, y = x, x∈R.Le të jetë f një funksion numerik me bashkësi përcaktimi E.Përkufizimi 1 Funksioni f quhet çift në qoftë se për çdo x∈E, plotësohen njëherësh dy kushte: (–x)∈E dhe f(–x) = f(x).Përkufizimi 2 Funksioni f quhet tek në qoftë se për çdo x∈E plotësohen njëherësh dy kushte: (–x)∈E dhe f(–x) = –f(x)Vërtetim Le të jetë f një funksion numerik çift, me bashkësi përcaktimi E dhe M(x1, y1) një pikë çfarëdo e grafikut të tij. Kjo do të thotë që x1∈E dhe f(x1) = y1.Simetrikja e pikës M në lidhje me boshtin Oy është pika N(–x1; y1) (fig. 1. 20).Kemi (−x1)∈E dhe f(−x1) = f(x1). Kjo do të thotë që xN∈E dhe f(xN) = yN.Pika N, pra, e ka abshisën nga E dhe koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin y = f(x), prandaj ajo ndodhet në grafikun e funksionit f.Kështu, grafiku i funksionit f, krahas çdo pike të tij, përmban edhe pikën simetrike të saj në lidhje me boshtin Oy. Kjo do të thotë që ky grafik ka si bosht simetrie boshtin Oy.Ushtrim Dihet se simetrikja e pikës M (x1, y1) në lidhje me origjinën O është pika L (–x1, –y1). Duke përdorur këtë fakt, vërtetoni teoremën: Grafiku i funksionit tek ka si qendër simetrie origjinën e koordinatave.y0 1 2 3 xa) b)4-1-1231y0 1 2 3 x4-1-1231Fig. 1. 19TeoremëGrafiku i funksionit çift ka si bosht simetrie boshtin Oy.y0 xN My1x1 -x1Fig. 1. 2024