Page 261 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA25910.1 Hiperbola dhe ekuacioni i sajA Kërkoni dhe zbuloniNë planin koordinativ janë dhënë pikat A(–3; 0) dhe B(3; 0). Shkruani kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që koordinatat e pikës M(x; y) të këtij plani të vërtetojnë barazimin |AM – BM| = 2. B Vrojtoni dhe mësoniPërkufizim: Hiperbolë quhet bashkësia e pikave të planit, diferenca e largesave të të cilave nga dy pika fikse të planit, të quajtura vatra, e marrë në vlerë absolute, është madhësi konstante pozitive. (Kjo konstante duhet të jetë më e vogël se largesa ndërmjet vatrave.)Për të nxjerrë ekuacionin e hiperbolës, zgjedhim si bosht të abshisave drejtëzën që bashkon dy vatrat, ndërsa origjinën e koordinatave e caktojmë në mesin e segmentit që bashkon vatrat (fig. 10.1).Shënojmë me 2c largesën ndërmjet vatrave F1 dhe F2. Kemi F1(–c; 0) dhe F2(c; 0). Shënojmë M(x; y) një pikë të çfarëdoshme të hiperbolës. Segmentet MF1 dhe MF2 quhen rreze vatrore të pikës M. Gjatësitë e tyre i shënojmë me r1 dhe r2. Kemi: r1 = MF1 = (x + c)2 + y2; r2 = MF2 = (x – c)2 + y2 .Sipas përkufizimit të hiperbolës, vlera absolute e diferencës |r1 – r2| është madhësi konstante. Duke e shënuar atë me 2a, kemi: |r1 – r2| = 2a ose | (x + c)2 + y2 – (x – c)2 + y2 | = 2a (1)Pra, koordinatat (x; y) të pikës së çfarëdoshme M të hiperbolës vërtetojnë ekuacionin (1).Anasjellas, çdo pikë M(x; y), koordinatat e së cilës vërtetojnë ekuacionin (1), ndodhet në hiperbolë.Në këtë mënyrë, ekuacioni (1) është ekuacioni i hiperbolës.Sikurse edhe tek elipsi, pas disa transformimesh, ekuacioni i hiperbolës merr trajtën x2a2 – y2b2 = 1 (2), ku b2 = c2 – a2. Barazimi (2) quhet ekuacioni më i thjeshtë i hiperbolës.Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, në të cilën largesa ndërmjet vatrave është 2c = 10, dhe diferenca e rrezeve vatrore është 2a = 8.ZgjidhjeKemi 2c = 10 ⇒ c = 5; 2a = 8 ⇒ a = 4. Nga barazimi b2 = c2 – a2, kemi b2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9. Ekuacioni i hiperbolës është x216 – y29 = 1.Forma e hiperbolës1. Simetria Sikurse edhe elipsi, hiperbola është vijë simetrike në lidhje me boshtet koordinative dhe origjinën e koordinatave (sepse në ekuacionin e saj figurojnë vetëm katrorët e koordinatave x, y).y0 F x 2(c, o)M(x y)r1r2F2(–c, o)Fig. 10.1