Page 262 - Demo

260MATEMATIKA 12USHTRIME2. Zona e vendosjesNga ekuacioni i hiperbolës x2a2 – y2b2 = 1, kemi x2a2 = 1 + y2b2 .Meqë y2b2 ≥ 0 del që x2a2 ≥ 1 ⇒ x2 ≥ a2 ⇒ |x| ≥ a.Kjo tregon se pikat e hiperbolës ndodhen jashtë brezit të kufizuar nga drejtëzat x = –a dhe x = a.3. Pikat e prerjes me boshtetPër y = 0 kemi x2a2 = 1 ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ±a. Hiperbola pret boshtin e abshisave në pikat A1(–a; 0) dhe A(a; 0). Këto pika quhen kulme të hiperbolës. Segmenti A1A = 2a quhet boshti real i hiperbolës.Për x = 0, y nuk ekziston, sepse ekuacioni – y2b2 = 1 nuk ka zgjidhje. Rrjedhimisht, hiperbola nuk e pret boshtin e ordinatave. Por për analogji me elipsin, shënojmë B1(0; –b) dhe B(0; b). Segmenti B1B = 2b quhet boshti imagjinar i hiperbolës.Në fig. 10.2 është ndërtuar drejtkëndëshi EFKL, me bazë A1A = 2a dhe lartësi B1B = 2b. Do ta pranojmë pa vërtetim që diagonalet e këtij drejtkëndëshi janë asimptota të hiperbolës. Ekuacionet e tyre janëy = ± bax. Në këtë mënyrë, forma e hiperbolës paraqitet në fig. 10.3.yx 0A1B1F1ABF2yy = – x bay = x bax A1 0B1 FAL B KE Fig. 10.2 Fig. 10.3C Ushtrohuni duke zbatuarTë shkruhet ekuacioni i hiperbolës, në qoftë se: a) a = 5 dhe b = 4; b) largesa ndërmjet vatrave është 14 njësi, ndërsa largesa ndërmjet kulmeve është 12 njësi;c) boshti imagjinar është 12 njësi dhe largesa ndërmjet vatrave është 20 njësi;d) boshtet e saj janë 12 njësi dhe 10 njësi.1 Të gjenden gjatësitë e boshteve si dhe koordinatat e vatrave të hiperbolës 9x2 – 16y2 = 144.2 Vatrat e hiperbolës janë F1(–13; 0) dhe F2(13; 0). Boshti imagjinar i saj është 10. Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës.3 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës me njërin kulm (–6; 0) dhe largesë ndërmjet vatrave 14.4 Të gjendet gjatësia e boshtit imagjinar të hiperbolës, në qoftë se njëra vatër e saj është (5; 0) dhe boshti real është 8. Të shkruhet ekuacioni i kësaj hiperbole.5 Boshti real i hiperbolës është 2 herë më i madh se boshti i saj imagjinar. Largesa ndërmjet vatrave është 6 5. Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës.6 Boshti real dhe boshti imagjinar i hiperbolës janë të barabartë. Largesa ndërmjet vatrave të saj është 8. Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës.7 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, kur jepen koordinatat e skajeve të boshtit real A(7; 0) dhe boshtit imagjinar B(0; 3).