Page 263 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA261A Kërkoni dhe zbuloniShqyrtoni hiperbolat x216 – y29 = 1 dhe x215 – y2 = 1. Cila prej tyre është më e shtypur?B Vrojtoni dhe mësoniSi edhe tek elipsi, raporti e = ca quhet jashtëqendërsi e hiperbolës. Meqë 0 < a < c, del se e > 1.Në qoftë se a = b, hiperbola quhet barabrinjëse. Ekuacioni i saj është x2a2 – y2a2 = 1 ose x2 – y2 = a2. Për hiperbolën barabrinjëse, kemi: c2 = a2 + b2 = a2 + a2 = 2a2 = ⇒ c = a 2, nga ku e = ca = a 2a = 2.Asimptotat e hiperbolës barabrinjëse janë drejtëzat me ekuacione y = ± bax = ±x, pra janë përgjysmoret e kuadranteve I-III dhe II-IV.Gjithashtu, ato janë pingule ndërmjet tyre (fig. 10.4). Pse?Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës me gjysmëbosht real 15, e cila kalon nga pika M(5; 2).ZgjidhjeEkuacioni i hiperbolës është x2a2 – y2b2 = 1. Zëvendësojmë a = 15 dhe kemi: x215 – y2b2 = 1. Meqë pika M(5; 2) ndodhet në hiperbolë, koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin e hiperbolës.Kemi: 2515 – 4b2 = 1 ⇒ 4b2 = 1015 ⇒ b2 = 6.Ekuacioni i hiperbolës është x215 – y26 = 1.Shembulli 2Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës me vatra F1(–2; 0) dhe F2(2; 0) dhe ekuacione të asimptotave y = ± 34 x.ZgjidhjeJanë dhënë c = 2 dhe ba = 34 ⇒ b = 34 a. Kemi:a2 + b2 = c2 ⇒ a2 + ( 34 a)2 = 4 ⇒ a2 + 916 a2 = 4 ⇒ 2516 a2 = 4 ⇒ a2 = 6425 ⇒ a = 85 ;Atëherë b = 34 a = 34 · 85 = 65 ⇒ b2 = 3625. Ekuacioni i hiperbolës është x26425 – y23625 = 1 ⇒ 25x264 – 25y236 = 1.10.2 Jashtëqendërsia e hiperbolës. Hiperbola barabrinjëseyx 0 A1B1ABFig. 10.4