Page 265 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA263A Kërkoni dhe zbuloniNë hiperbolën x216 – y29 = 1, jepet pika M(1; y). Gjeni largesat e pikës M nga vatrat e kësaj hiperbole. B Vrojtoni dhe mësoni1. Rrezet vatrore të hiperbolësNë fig. 10.5 është ndërtuar hiperbola x2a2 – y2b2 = 1 dhe në të ështëmarrë pika M(x; y) në degën e djathtë të saj.Kemi r1 = MF1 = (x + c)2 + y2 dhe r2 = MF2 = (x – c)2 + y2 .Nga përkufizimi i hiperbolës, për degën e djathtë kemi r1 – r2 = 2a. (1)Duke arsyetuar në mënyrë analoge si tek elipsi (shih mësimin 8.7), kemi r12 – r22 = 4cx ⇒ (r1 – r2)(r1 + r2) = 4cx ⇒ 2a(r1 + r2) = 4cx ⇒ r1 + r2 = 2 cax(2)Me barazimet (1) dhe (2), formojmë sistemin:r1 – r2 = 2ar1 + r2 = 2 cax nga ku r1 = cax + ar2 = cax – a ose {r1 = ex + ar2 = ex – a.Këto formula shprehin gjatësitë e rrezeve vatrore të çdo pike të degës së djathtë të hiperbolës.Shembulli 1Në hiperbolën x26 – y22 = 1, jepet pika M(x; 1), ku x > 0. Të gjenden gjatësitë e rrezeve vatrore të pikës M.ZgjidhjeMeqë pika M ndodhet në hiperbolë, koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin e hiperbolës. Duke zëvendësuar y = 1 në këtë ekuacion, kemi:x26 – 12 = 1 ⇒ x26 = 32 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = 3, sepse x > 0.Nga ekuacioni i hiperbolës, gjejmë c. Kemi:c2 = a2 + b2 = 6 + 2 = 8 ⇒ c = 2 2 ⇒ e = ca = 2 26 = 23 = 2 33 .Gjatësitë e rrezeve vatrore të pikës M janë:r1 = ex + a = 2 33 · 3 + 6 = 2 3 + 6;r2 = ex – a = 2 33 · 3 – 6 = 2 3 – 6;2. Vijat drejtuese të hiperbolësNë fig. 10.6 është ndërtuar hiperbola x2a2 – y2b2 = 1 dhe drejtëzat me ekuacione l1 : x = – ae dhe l2 : x = ae . Në degën e djathtë të hiperbolës është marrë pika e çfarëdoshme M(x; y).10.3 Rrezet vatrore dhe vijat drejtuese të hiperbolësFig. 10.5yx 0B1F1ABF2M(x y)r2r1A1Fig. 10.6yx 0B1F1l1 l2ABF2M(x y)r2r1A1x = – ae x = ae