Page 266 - Demo

264MATEMATIKA 12USHTRIMEShënojmë me d largesën e pikës M nga drejtëza l2. Kemi d = x – ae . Gjithashtu, kemi r2 = ex – a. Llogaritim raportin r2d . Kemi: r2d = ex – ax – ae = ex – aex – ae = e. Pra r2d = e. Në mënyrë analoge, provohet se për rrezen vatrore r1 dhe drejtëzën me ekuacion x = – ae është i vërtetë raporti r1d = e, ku d është largesa e pikës M nga kjo drejtëz.Drejtëzat l1 dhe l2 me ekuacione x = ± ae quhen vija drejtuese të hiperbolës, ose shkurt, drejtuese të saj. Këto drejtëza kanë vetinë: Raporti i largesave të çdo pike të hiperbolës nga vatra dhe vija drejtuese përkatëse është madhësi konstante, e barabartë me jashtëqendërsinë e hiperbolës.Shënim.Duke zëvendësuar e = ca , ekuacionet e vijave drejtuese të hiperbolës marrin trajtën:x = ± ae = ± aca = ± a2c . Largesa ndërmjet tyre është l = 2ae ose l = 2a2c .Shembulli 2Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës me vatër të djathtë F2(5; 0) dhe largesë ndërmjet vijave drejtuese 6,4.ZgjidhjeEkuacioni i hiperbolës është: x2a2 – y2b2 = 1. Kemi c = 5 dhe 2a2c = 6,4 ⇒ 2a25 = 6,4 ⇒ a2 = 16; b2 = c2 – a2 = 25 – 16 = 9.Ekuacioni i hiperbolës është x216 – y29 = 1.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Jepet hiperbola x216 – y212 = 1 dhe pika M(x; 6) në të (x > 0). Të gjenden gjatësitë e rrezeve vatrore të pikës M.2. Largesa ndërmjet vatrave të hiperbolës është 2c = 10 dhe jashtëqendërsia e = 54 .a) Të shkruhen ekuacionet e asimptotave të saj.b) Të shkruhen ekuacionet e vijave drejtuese të saj.1 Jepet hiperbola x22 – y24 = 1 dhe pika M(x; 2), ku x > 0. Të gjenden gjatësitë e rrezeve vatrore të pikës M.2 Të gjendet këndi ndërmjet asimptotave të hiperbolës, në qoftë se largesa ndërmjet vatrave të saj është 2 herë më e madhe se largesa ndërmjet vijave drejtuese.3 a) Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, e cila kalon nga pikat (–5; 2) dhe (2 5; 2).b) Të shkruhen ekuacionet e vijave drejtuese të saj.4 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës me bosht real 8, e cila kalon nga pika (–5; 94 ).5 Jepet hiperbola x280 – y220 = 1.a) Të gjendet pika M me abshisë 10 dhe ordinatë negative.b) Të gjenden gjatësitë e rrezeve vatrore të pikës M.c) Të shkruhen ekuacionet e rrezeve vatrore të pikës M.