Page 267 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA26510.4 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe hiperbolësA Kërkoni dhe zbuloniJepet hiperbola x216 – y212 = 1. Sa pika të përbashkëta me të ka drejtëza y = x?B Vrojtoni dhe mësoniJepet drejtëza d: y = kx + t dhe hiperbola x2a2 – y2b2 = 1. Për të gjetur pikat e tyre të përbashkëta, zgjidhim sistemin e ekuacioneve:y = kx + tx2a2 – y2b2 = 1. Duke zëvendësuar y në ekuacionin e dytë kemi:x2a2 – (kx + t)2b2 = 1 ⇒ b2x2 – a2k2x2 – 2a2ktx – a2t2 – a2b2 = 0⇒⇒ x2(b2 – a2k2) – 2a2ktx – (a2t2 + a2b2) = 0 (1)Përftohet në këtë mënyrë një ekuacion i fuqisë së dytë. Dallori i këtij ekuacioni është:D = (–2a2kt)2 + 4(b2 – a2k2)(a2t2 + a2b2) = 4a2b2(t2 + b2 – a2k2).Dallojmë tri raste:1) D < 0 ⇒ 4a2b2(t2 + b2 – a2k2) < 0 ⇒ a2k2 – b2 > t2. Ekuacioni (1) nuk ka zgjidhje. Rrjedhimisht, hiperbola dhe drejtëza d nuk kanë pika të përbashkëta. Drejtëza d nuk e pret hiperbolën (fig. 10.7/a).MdddMNyx 0a) b) c)yx 0yx 0Fig. 10.72) D > 0 ⇒ 4a2b2(t2 + b2 – a2k2) >0 ⇒ a2k2 – b2 < t2. Ekuacioni (1) ka dy rrënjë. Rrjedhimisht, hiperbola dhe drejtëza d kanë dy pika të përbashkëta. Drejtëza d e pret hiperbolën (fig. 10.7/b).3) D = 0 ⇒ 4a2b2(t2 + b2 – a2k2) = 0 ⇒ a2k2 – b2 = t2. Ekuacioni (1) ka vetëm një rrënjë. Drejtëza d dhe hiperbola kanë vetëm një pikë të përbashkët. Drejtëza d është tangjente me hiperbolën (fig. 10.7/c).Në këtë mënyrë, kemi gjetur kushtin që drejtëza y = kx + t të jetë tangjente me hiperbolën x2a2 – y2b2 = 1. Ai është: a2k2 – b2 = t2.Shembulli 1Drejtëza y = kx + 2 është tangjente me hiperbolën x216 – y212 = 1. Të gjendet k.ZgjidhjeNga kushti i tangjencës kemi 16 · k2 – 12 = 4 ⇒ k2 = 1 ⇒ k = ±1.