Page 268 - Demo

266MATEMATIKA 12USHTRIMEShembulli 2Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, e cila është tangjente me drejtëzat:d1 : y = x – 3 dhe d2 : y = –2x – 54.ZgjidhjeEkuacioni i hiperbolës është x2a2 – y2b2 = 1. Nga kushti i tangjencës kemi:- për drejtëzën d1: a2 – b2 = 9.- për drejtëzën d2: 4a2 – b2 = 54.Me ekuacionet e përftuara, formojmë sistemin:{a2 – b2 = 94a2 – b2 = 54 ⇒ {a2 = 15b2 = 6Ekuacioni i hiperbolës është x215 – y26 = 1.Shënim.Në qoftë se drejtëza jepet me ekuacionin Ax + By + C = 0, duke gjetur ekuacionin më të thjeshtë të saj, kemi:y = – (AB) x – CB .Zëvendësojmë në formulën a2k2 – b2 = t2 . Kemi: a2 (– AB)2 – b2 = (– CB)2 ⇒ a2 · A2B2 – b2 = C2B2 ⇒ a2 · A2 – b2 · B2 = C2, i cili shpreh kushtin e tangjencës së drejtëzës Ax + By + C = 0 me hiperbolën x2a2 – y2b2 = 1.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Drejtëza 9x + 2y + n = 0 është tangjente me hiperbolën x25 – y245 = 1. Të gjendet n.2. Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, e cila është tangjente me drejtëzat y = x + 1 dhe y = 3x – 5.1 Të gjenden pikat e përbashkëta të hiperbolës x290 – y236 = 1 me drejtëzat:a) x – 5y = 0; b) 2x + y – 18 = 0; c) x – y + 5 = 0.2 Të shkruhen ekuacionet e drejtëzave që kalojnë nga pika M(2; –5) dhe janë paralele me asimptotat e hiperbolës x24 – y2 = 1.3 Drejtëza y = x + 2 është tangjente me hiperbolën x210 – y26 = 1. Të gjendet pika e tyre e përbashkët.4 Drejtëza y = x – 1 është tangjente me hiperbolën x29 – y2b2 = 1. Të gjendet b2.5 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës që kalon nga pika (4; 6) dhe ka asimptota drejtëzat me ekuacion y = ± 3x.6 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, e cila kalon nga pika M(3; 1) dhe është tangjente me drejtëzën me ekuacion y = x – 2.