Page 269 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA26710.5 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të hiperbolësA Kërkoni dhe zbulonia) Në hiperbolën x210 – y26 = 1 gjeni pikën me abshisë 70 që ndodhet në kuadrantin e parë.b) Shkruani ekuacionin e drejtëzës që është tangjente me hiperbolën në këtë pikë. B Vrojtoni dhe mësoniJepet hiperbola x2a2 – y2b2 = 1 dhe pika M1(x1; y1) në të (fig. 10.8). Ekuacioni i tangjentes me hiperbolën në pikën M1ka trajtën y – y1 = k(x – x1), ku k është koeficienti këndor i tangjentes.Nga kuptimi gjeometrik i derivatit, dimë se k = y’(x1).Nga ekuacioni i hiperbolës, kemi: y2 = b2a2 x2 – b2. Duke derivuar të dyjaanët në lidhje me x kemi: 2y · y' = 2b2a2 x ⇒ y' = b2a2 · xy⇒ k = b2a2 ·x1y1. Rrjedhimisht, ekuacioni i tangjentes në pikën M1 është:y – y1 = b2a2 ·x1y1(x – x1). Duke shumëzuar të dyja anët e këtij barazimi me y1b2 , kemi:yy1b2 – y12b2 = xx1a2 – x12a2 ⇒xx1a2 – yy1b2 = x12a2 – y12b2 . Meqë pika M1(x1,y1) ndodhet në hiperbolë, ana e djathtë e barazimit të fundit është e barabartë me 1. Në këtë mënyrë, ekuacioni i tangjentes është xx1a2 – yy1b2 = 1.Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i tangjentes ndaj hiperbolës x225 – y2 = 1 në pikën M(254 ; 34 ).ZgjidhjeVëmë re se pika M ndodhet në hiperbolë. Me të vërtetë:(254 )225 – ( 34 )2 = 6251625 – 916 = 2516 – 916 = 1.Ekuacioni i tangjentes është: x · 25425 – y · 34 = 1 ⇒ x – 3y – 4 = 0.Shembulli 2Tangjentja e hiperbolës x216 – y24 = 1 formon këndin 45º me boshtin e abshisave. Të shkruhet ekuacioni i kësaj tangjenteje.ZgjidhjeEkuacioni i tangjentes është y = kx + t. Kemi k = tg45º = 1 ⇒ y = x + t.Nga kushti i tangjencës, kemi: a2k2 – b2 = t2 ⇒ 16 · 1 – 4 = t2 = 12 ⇒ t = ± 2 3.Ekuacionet e tangjenteve janë y = x ± 2 3.Fig. 10.8ATangjenteA1M1(x1; y1)B1Byx 0