Page 27 - Demo

1. FUNKSIONI NUMERIKMetodë Nëse dihet që funksioni numerik f me bashkësi përcaktimi E është çift apo tek, gjatë studimit të tij, për të thjeshtuar punë, mund të shqyrtojmë vetëm pjesën jonegative të bashkësisë së përcaktimit (kjo është prerja e E me R+). Nga vetitë e f në këtë bashkësi, mund të nxirren të gjitha vetitë e f në E.Funksionet periodikeNë jetën e përditshme, në ekonomi dhe në shumë degë të shkencës ka procese, ecuria e të cilave përsërit veten pas segmentesh të caktuara kohore. Procese të tilla modelohen matematikisht me anë funksionesh që quhen periodike.Shembulli 1 Diagrami më poshtë (fig. 1.21) paraqet një elektrokardiogram, në të cilin jepen ndryshimet e intensitetit të rrymës elektrike sipas aktivitetit të zemrës.A B C DFig. 1. 21Nga figura shohim se pjesa e grafikut që i përgjigjet segmentit [AB] përsëritet njëlloj për segmentin [BC], po ashtu, për segmentin [CD] e kështu më tej.Ky është grafiku i një funksioni periodik.Le të jetë f një funksion numerik me bashkësi përcaktimi E.PërkufizimFunksioni f quhet periodik në qoftë se ekziston të paktën një numër a ≠ 0 i tillë që për çdo x∈E të kemi (x – a)∈E, (x + a)∈E dhe f (x + a) = f(x) (1).Në rast se një numër i tillë a ekziston, ai nuk është i vetëm. Këtë veti e gëzojnë edhe të gjithë numrat e trajtës k · a, ku k∈Z. Pra, nga barazimi (1) f(x + a) = f(x) rrjedh f(x + k · a) = f(x), x∈E. P.sh.: f(x + 2a) = f(x + a + a) = f(x + a) = f(x).Në rast se funksioni f është periodik, numri më i vogël pozitiv a, i tillë që f(x + a) = f(x), x∈E, quhet periodë e funksionit.Në përgjithësi, grafiku i funksionit periodik “përsërit veten” pas segmentesh me gjatësi sa perioda.Me të vërtetë, nëse pika M (x1, y1) është pikë e grafikut të funksionit periodik f, edhe pika N (x1 + T; y1) është përsëri pikë e grafikut të këtij funksioni [po ashtu, edhe pika P (x1 – T; y1)] (fig. 1.22). Për të vërtetuar këtë, mjafton të tregojmë që nga barazimi f(x1) = y1 rrjedh barazimi f(xN) = yN (pse?).Kemi f(xN.) = f(x1 + T) = f(x1) = y1 = yN. D.m.th. f(xN) = yN.→Pyy1x1 – T–Ti →Tix1 x1 + TM N0Fig. 1.2225