Page 270 - Demo

268MATEMATIKA 12USHTRIMEShembulli 3Jepet hiperbola x29 – y216 = 1. Të shkruhet ekuacioni i tangjentes ndaj kësaj hiperbole, kur dimë se origjinae koordinatave dhe vatra e djathtë e hiperbolës kanë të njëjtën largesë nga kjo tangjente.ZgjidhjeEkuacioni i tangjentes së kërkuar është:xx19 – yy116 = 1 ⇒ 16xx1 – 9yy1 – 144 = 0 (1)Nga ekuacioni i hiperbolës, kemi c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25 ⇒ c = 5. Vatra e djathtë e hiperbolës është F2(5; 0). Gjejmë largesat e pikave F2(5; 0) dhe O(0; 0) nga tangjentja. Kemi:dF2 = |16x1 · 5 – 144|(16x1)2 + (–9y1)2; do = |144|(16x1)2 + (–9y1)2;dF2 = do = |80x1 – 144|(16x1)2 + (–9y1)2 = 144(16x1)2 + (–9y1)2 ⇒ |80x1 – 144| = 144 ⇒ x1 = 185Duke zëvendësuar në ekuacionin e hiperbolës, gjejmë y1. Kemi: (185 )29 – y1216 = 1 ⇒ y1 = ±45 11.Pikat e takimit janë ( 185 ; 45 11) dhe ( 185 ; – 45 11).Duke zëvendësuar në ekuacionin (1), gjejmë ekuacionet e tangjenteve të kërkuara:16(185 ) x – 9(±45 11)y – 144 = 0 ⇒ 8x ± 11y – 20 = 0C Ushtrohuni duke zbatuar1. Të shkruhet ekuacioni i tangjentes me hiperbolën x216 – y24 = 1, e cila kalon nga pika M(–5; 32 ) e saj.2. Hiperbola e ka boshtin real 10 dhe është tangjente me drejtëzën y = x – 3. Të gjendet boshti imagjinar i saj.1 Ekuacioni i një tangjenteje të hiperbolës x212 – y23 = 1 është x – y – 3 = 0. Të gjendet pika e takimit.2 Drejtëza y = 2x – 2 është tangjente me hiperbolënx2a2 – y24 = 1. Të gjendet largesa ndërmjet vijavedrejtuese të hiperbolës.3 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës tangjente me drejtëzat 5x – 6y – 16 = 0 dhe 13x – 10y – 48 = 0.4 Të shkruhet ekuacioni i hiperbolës, në qoftë se tangjentja e saj në pikën M(4; 2) ka ekuacionin y = x – 2.5 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve me hiperbolën x210 – y26 = 1 në pikat e prerjes së saj me drejtëzën y = 45x.6 Jepet hiperbola x23 – y2 = 1.a) Të gjenden koordinatat e vatrave të saj.b) Të shkruhet ekuacioni i elipsit, që ka të njëjtat vatra me hiperbolën dhe është tangjent me drejtëzën me ekuacion y = x + 8. 7 Të shkruhet ekuacioni i tangjentes ndaj hiperbolës x29 – y24 = 1 në pikën M(5; y)(y > 0) të saj. Të gjendet gjatësia e segmentit të tangjentes ndërmjet asimptotave të hiperbolës.8 Pika M(5; 3) ndodhet në hiperbolën barabrinjëse x2 – y2 = 16. Të gjendet:a) ekuacioni i tangjentes me hiperbolën në pikën M;b) ekuacioni i drejtëzës pingule me këtë tangjente, e cila kalon nga origjina e koordinatave.9 Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve me hiperbolën x227 – y23 = 1, të cilat janë paralele me drejtëzën2x + 3y + 12 = 0.10 Hiperbola është tangjente me drejtëzën 5x – 6y – 8 = 0 dhe ka për asimptota drejtëzat me ekuacione y = ± 45 x. Të shkruhet ekuacioni i saj.11 Në hiperbolën x28 – y29 = 1, të gjendet pika e kuadrantit të parë, në të cilën tangjentja ndaj hiperbolës formon me boshtin e abshisave këndin 60º.