Page 271 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA26910.6 Parabola simetrike në lidhje me boshtin e abshisaveA Kërkoni dhe zbuloniNë vijën me ekuacion y2 = 4x merrni një pikë me ordinatë y. Tregoni që largesat e saj nga pika fikse A(1; 0) dhe nga drejtëza fikse x = –1 janë të barabarta.B Vrojtoni dhe mësoniPërkufizim: Parabolë quhet bashkësia e pikave të planit të baraslarguara nga një drejtëz fikse dhe nga një pikë fikse e planit, jashtë kësaj drejtëze.Drejtëza fikse PQ quhet vijë drejtuese, ndërsa pika fikse F quhet vatër e parabolës. Largesa FA e vatrës nga vija drejtuese shënohet me p dhe quhet parametër i parabolës (p > 0).Për të nxjerrë ekuacionin e parabolës zgjedhim si origjinë të koordinatave mesin O të segmentit AF, ndërsa si bosht abshisash zgjedhim drejtëzën që kalon nga vatra F dhe është pingule me vijën drejtuese (me drejtim nga vija drejtuese te vatra) (fig. 10.9).Shënojmë M(x; y) një pikë të çfarëdoshme të parabolës. Kemi F( p2 ; 0), A(– p2 ; 0), N(– p2 ; y).Atëherë: r = MF = (x − p2 )2 + y2 dhe d = MN = (x + p2 )2 .Sipas përkufizimit të parabolës, që pika M të ndodhet në parabolë duhet e mjafton që MF = MN. Zëvendësojmë dhe kemi:(x − p2 )2 + y2 = (x + p2 )2 (1)Ky është ekuacioni i parabolës së shqyrtuar. Duke ngritur të dyja anët në katror, marrim ekuacionin e njëvlershëm: x2 – px + p24 + y2 = x2 + px + p24 ⇔ y2 = 2px (2)Meqenëse ekuacioni (2) është i njëvlershëm me ekuacionin (1), atëherë edhe ekuacioni (2) është ekuacioni i parabolës së shqyrtuar.Ekuacioni y2 = 2px quhet edhe ekuacioni më i thjeshtë i parabolës.Forma e parabolës1. SimetriaParabola është vijë simetrike në lidhje me boshtin e abshisave. Me të vërtetë, në qoftë se pika M1(x1; y1) ndodhet në parabolë, edhe pika N1(x1; –y1) ndodhet gjithashtu në parabolë (pse?). Boshti i abshisave quhet bosht i parabolës.2. Zona e vendosjesNga ekuacioni y2 = 2px, meqë y2 ³ 0, del se x ³ 0. Si përfundim, të gjitha pikat e parabolës ndodhen djathtas boshtit të ordinatave (pra, në kuadrantet I dhe IV).Fig. 10.9M(x; y)rxdNPy QO F( , 0) p2A (- , 0) p2