Page 276 - Demo

274MATEMATIKA 1210.8 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës dhe parabolësA Kërkoni dhe zbuloniËshtë dhënë parabola x2 = 4y dhe drejtëza y = x – 1. Sa pika të përbashkëta ka kjo drejtëz me parabolën?B Vrojtoni dhe mësoniJepet drejtëza y = kx + t dhe parabola y2 = 2px. Pikat e përbashkëta të tyre gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:{y = kx + ty2 = 2pxDuke zëvendësuar y në ekuacionin e dytë, kemi:(kx + t)2 = 2px Þ k2x2 + 2ktx + t2 – 2px = 0 Þ k2x2 + 2(kt – p)x + t2 = 0 (1)Dallori i këtij ekuacioni është:D = 4(kt – p)2 – 4k2t2 = 4k2t2 – 8ktp + 4p2 – 4k2t2 = 4p2 – 8ktp = 4p(p – 2kt).Dallojmë tri raste:1. D < 0 Þ 4p(p – 2kt) < 0 Þ p – 2kt < 0 Þ 2kt > p. Ekuacioni (1) nuk ka rrënjë. Rrjedhimisht, parabola dhe drejtëza nuk kanë pika të përbashkëta. Drejtëza nuk e pret parabolën (fig. 10.15/a).O xyO xyda) b) c)dCBdMO xyFig.10.152. D > 0 Þ 4p(p – 2kt) > 0 Þ p – 2kt > 0 Þ 2kt < p. Ekuacioni (1) ka dy rrënjë. Rrjedhimisht, parabola dhe drejtëza kanë dy pika të përbashkëta. Drejtëza e pret parabolën në dy pika (fig. 10.15/b).3. D = 0 Þ 4p(p – 2kt) = 0 Þ p – 2kt = 0 Þ 2kt = p. Ekuacioni (1) ka vetëm një rrënjë. Rrjedhimisht, parabola dhe drejtëza kanë vetëm një pikë të përbashkët. Drejtëza është tangjente me parabolën (fig. 10.15/c).Në këtë mënyrë, barazimi 2kt = p përbën kushtin që drejtëza y = kx + t të jetë tangjente me parabolën y2 = 2px.Shënim.1. Në qoftë se drejtëza jepet me ekuacionin e saj të përgjithshëm Ax + By + C = 0, gjejmë fillimisht ekuacionin më të thjeshtë të saj. Kemi:y = – AB x – CB. Zëvendësojmë në kushtin e tangjencës 2kt = p dhe kemi: