Page 277 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA2752(– AB ) · (– CB) = p, nga ku 2×A×C = B2 × p, i cili shpreh kushtin që drejtëza Ax + By + C = 0 të jetë tangjente me parabolën y2 = 2px.2. Në qoftë se parabola jepet me ekuacionin x2 = 2py, pikat e përbashkëta me drejtëzën y = kx + t gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:{y = kx + tx2 = 2py . Duke ndjekur arsyetime të ngjashme si në rastin e mëparshëm, arrihet në përfundimin se kushti i tangjencës së tyre është – 2tk2 = p.3. Në qoftë se parabola jepet me ekuacionin y2 = –2px, kushti që drejtëza y = kx + t, të jetë tangjente me parabolën, është –2kt = p.4. Në qoftë se parabola jepet me ekuacionin x2 = –2py, kushti që drejtëza y = kx + t të jetë tangjente me parabolën është 2tk2 = p.Shembulli 1Drejtëza y = mx + 1 është tangjente me parabolën y2 = 8x. Të gjendet m.ZgjidhjeKemi 2p = 8 Þ p = 4. Zëvendësojmë në kushtin e tangjencës: 2 × m × 1 = 4 Þ m = 2.Shembulli 2Drejtëza y = x + t është tangjente me parabolën x2 = 8y. Të gjendet t.ZgjidhjeJanë dhënë 2p = 8 Þp = 4 dhe k = 1.Duke zëvendësuar në kushtin e tangjencës – 2tk2 = p, kemi: – 2t1 = 4 ⇒ t = –2.Shembulli 3Të shkruhet ekuacioni i parabolës me kulm në origjinën e koordinatave, simetrike në lidhje me boshtin e abshisave, e cila është tangjente me drejtëzën y = 3x – 1.ZgjidhjeEkuacioni i parabolës është y2 = –2px. Pse? Kushti i tangjencës në këtë rast është –2kt = p.Nga kushti i tangjencës, kemi: –2 × 3 × (–1) = p Þ p = 6. Ekuacioni i parabolës është y2 = –12x.Shembulli 4Të shkruhet ekuacioni i tangjentes me parabolën y2 = –12x, e cila formon me boshtin e abshisave këndin 135º.ZgjidhjeParametri i parabolës është p = 6. Ekuacioni i tangjentes së kërkuar është y = kx + t. Kemi k = tg135º = –1. Ekuacioni i tangjentes është y = –x + t. Nga kushti i tangjencës, kemi:2 × (–1) × t = –6 Þ t = 3. Ekuacioni i tangjentes është y = –x + 3.