Page 279 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA27710.9 Ekuacioni i tangjentes në një pikë të parabolësA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)a) Gjeni pikën e parabolës x2 = 4y që ka abshisën 2.b) Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nga kjo pikë dhe ka koeficient këndor k.c) Gjeni k që kjo drejtëz të jetë tangjente me parabolën.B Vrojtoni dhe mësoniJepet parabola y2 = 2px dhe pika M1(x1; y1) në të (fig. 10.17).Ekuacioni i tangjentes me parabolën në pikën M1 është: y – y1 = k(x – x1). Nga kuptimi gjeometrik i derivatit, kemi k = f’(x1).Në ekuacionin e parabolës y2 = 2px derivojmë të dyja anët në lidhje me x. Kemi: 2yy' = 2p ⇒ y' = py . Koeficienti këndor i tangjentes është k = py1.Ekuacioni i tangjentes në pikën M1 është:y – y1 = py1(x – x1) ⇒ yy1 – y12 = px – px1 ⇒ yy1 = px – px1 + y12 (1)Meqë pika M1(x1; y1) ndodhet në parabolë, kemi y12 = 2 px1. Duke zëvendësuar në barazimin (1), kemi: yy1 = px – px1 + 2px1 nga ku yy1 = p(x + x1), i cili jep ekuacionin e tangjentes me parabolën y2 = 2pxnë pikën M1(x1; y1) të saj.Vërejtje:Njëlloj vërtetohet se: - ekuacioni i tangjentes ndaj parabolës y2 = –2px në pikën (x1, y1) të saj është y · y1 = –p(x + x1).- ekuacioni i tangjentes ndaj parabolës x2 = 2py në pikën (x1, y1) të saj është x · x1 = p(y + y1).- ekuacioni i tangjentes ndaj parabolës x2 = –2py në pikën (x1, y1) të saj është x · x1 = –p(y + y1).Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i tangjentes me parabolën y2 = 8x në pikën M(2; –4).ZgjidhjeVëmë re se pika M(2; –4) ndodhet në parabolë. Me të vërtetë: (–4)2 = 8 × 2. Ekuacioni i tangjentes së kërkuar është: y × (–4) = 4(x + 2) Þ x + y + 2 = 0.Shembulli 2Të shkruhet ekuacioni i tangjentes së parabolës y2 = 16x, e cila është:a) pingule me drejtëzën y = x – 7; b) paralele me drejtëzën 2x – y + 5 = 0.Zgjidhjea) Ekuacioni i tangjentes së kërkuar është y = –x + t (pse?).Nga kushti i tangjencës kemi: 2kt = p Þ 2(–1)t = 8 Þ t = –4.Ekuacioni i tangjentes është y = –x – 4.b) Ekuacioni i tangjentes së kërkuar është 2x – y + c = 0 (pse?).Nga kushti i tangjencës, kemi 2 × A × C = B2 × p Þ 2 × 2 × C = 8 Þ C = 2.Ekuacioni i tangjentes është 2x – y + 2 = 0.O xyM1(x1 y1)Fig. 10.17