Page 281 - Demo

27910. HIPERBOLA DHE PARABOLA10.10 USHTRIME PËR KREUNShembulli 1Në pikën M(2; –2) të parabolës y2 = 2x ndërtohet tangjentja me të. Të gjendet syprina e trekëndëshit të kufizuar nga kjo tangjente dhe boshtet koordinative.ZgjidhjeJanë dhënë ekuacioni i parabolës y2 = 2x dhe pika M(2; –2). Kërkohet syprina e trekëndëshit AOB (fig. 10.18).Ekuacioni i tangjentes është: y ·(–2) = 1(x + 2) Þ x + 2y + 2 = 0. Gjejmë koordinatat e pikave A dhe B. Kemi:xA = 0 ÞyA = –1; A(0; –1).yB = 0ÞxB = –2; B(–2; 0);SAOB = 12 · OA · OB = 12 · 1 · 2 = 1njësi katrore.Shembulli 2Nga pika M(3; –4) ndërtohen tangjentet ndaj parabolës y2 = 4x. Të shkruhen ekuacionet e tyre.ZgjidhjeVëmë re se pika M nuk ndodhet në hiperbolë. Me të vërtetë: (–4)2 ¹ 4 × (3).Ekuacionet e tangjenteve kanë trajtën y = kx + t. Meqë pika M ndodhet në tangjente, koordinatat e saj vërtetojnë këtë ekuacion. Pra –4 = 3k + t (1). Nga kushti i tangjencës së drejtëzës me parabolën kemi: 2kt = 2 (2) Me ekuacionet (1) dhe (2), formojmë sistemin: {3k + t = –42kt = 2 ⇒ {k1 = –1t1 = –1k2 = – 13t2 = –3Ekuacionet e tangjenteve janë y = – x – 1 ose y = – 13 x – 3.Shembulli 3Jepet hiperbola x24 – y212 = 1.a) Të gjendet pika M e kuadrantit të parë, në të cilën tangjentja me hiperbolën është paralele me drejtëzën 2x – y + 7 = 0.b) Të shkruhet ekuacioni i parabolës me kulm në origjinën e koordinatave, simetrike në lidhje me boshtin e abshisave, e cila kalon nga pika M.Zgjidhjea) Tangjentja me hiperbolën ka ekuacionin 2x – y + C = 0. Nga kushti i tangjencës, kemi:a2 × A2 – b2 × B2 = C2 Þ 4 × 4 – 12 × 1 = C2 Þ C = ±2.Ekuacionet e tangjenteve janë 2x – y + 2 = 0 ose 2x – y – 2 = 0.Pikat e takimit gjenden duke zgjidhur sistemet: x24 – y212 = 12x – y + 2 = 0⇒ M1 (–4; –6) ose x24 – y212 = 12x – y – 2 = 0⇒ M2 (4; 6).Për kushtet e problemit, pranohet pika M2.b) Ekuacioni i parabolës është y2 = 2px. Zëvendësojmë koordinatat e pikës M2. Kemi: 36 = 2p · 4 ⇒ p = 92 . Ekuacioni i parabolës është y2 = 9x.xyOMABFig. 10.18