Page 283 - Demo

10. HIPERBOLA DHE PARABOLA281A Vrojtoni dhe mësoniVijat, ekuacionet e të cilave në sistemin koordinativ xOy janë ekuacione të gradës së dytë me dy ndryshore x, y (rrethi, elipsi, hiperbola dhe parabola) janë njohur që në kohën e Greqisë së vjetër. Ato janë shqyrtuar si prerje të sipërfaqes konike me plane. Është kjo arsyeja që ato quhen edhe prerje konike. Ndonëse me metoda studimi të ndryshme nga ato që përdorim sot (për arsye se në Greqinë e vjetër nuk njihej metoda e koordinatave), matematikanët grekë i kanë njohur shumë mirë vetitë e prerjeve konike. Rëndësia e studimit të tyre u ligjërua në mënyrë të veçantë pasi Kepleri zbuloi që lëvizja e trupave qiellorë kryhej sipas trajektoresh që janë prerje konike. Ja një interpretim gjeometrik i tyre.E presim konin me plane që nuk kalojnë nga kulmi i tij (fig. 10.19).1. Në qoftë se plani prerës është pingul me boshtin e konit, atëherë prerja është rreth.2. Në qoftë se plani prerës nuk është paralel me asnjë përftuese të konit, atëherë prerja është elips.3. Në qoftë se plani prerës është paralel më një përftuese të konit, atëherë prerja ështëparabolë.4. Në qoftë se plani prerës është paralel me boshtin e konit, atëherë prerja është hiperbolë.Duke i bashkuar në një të vetëm përfundimet e arritura për elipsin, hiperbolën dhe parabolën, në lidhje me vatrën dhe vijën drejtuese përkatëse, japim këtë përkufizim:Prerje konike quhet bashkësia e pikave të planit, raporti i largesave të të cilave nga një pikë fikse (vatra) dhe një drejtëz fikse (vija drejtuese) është madhësi konstante (fig. 10.20).Në mënyrë të veçantë:Për elipsin: FM1M1N1 = e < 1;Për parabolën: FM2M2N2 = e = 1;Për hiperbolën: FM3M3N3 = e > 1;Ekuacioni i përbashkët i konikeve sipas përcaktimit metrikPër të gjitha koniket ka një konstante që i karakterizon ato.Ekziston një drejtëz d dhe një pikë e caktuar F (që nuk ndodhet në d), kundrejt të cilave të gjitha pikat, për secilën konike, kanë vetinë e raportit të largesave:Largesa e secilës pikë M të konikes nga pika FLargesa e kësaj pike M nga drejtëza d = konstante10.11 Ekuacioni i përbashkët i konikeverrethhiperbolëparabolëelipsFig. 10.19hiperbolaparabolaelipsirrethi N1M1MFN2M2N3M3NFig. 10.20