Page 284 - Demo

282MATEMATIKA 12Këtë konstante e shënojmë me e dhe e quajmë jashtëqendërsi të konikes. Shihni rastet në figurën 10.21. Drejtëza d quhet vijë drejtuese e konikes, kurse pika F – vatër e saj. Kemi këto raste: - për elipsin e < 1; - për parabolën e = 1; - për hiperbolën e > 1.HHHHHHA A APPPP PF B F F(d) (d)Fig. 10.21Ekuacionet e konikeve mund të gjenden duke u mbështetur në vetinë e formuluar më sipër.Le të shqyrtojmë pikën e caktuar F dhe drejtëzën e caktuar d, që nuk kalon nga F. Le të jetë M një pikë e çfarëdoshme e planit. Shënojmë me H këmbën e pingules së hequr nga pika M ndaj drejtëzës d. Largesat MF dhe MH të pikës M përkatësisht nga pika F dhe nga drejtëza d ndryshojnë në varësi të pikës M, por raporti i tyre nuk ndryshon: MFMH = e.Zgjedhim sistemin koordinativ si në figurën 10.22. Marrim boshtin e abshisave në drejtëzën (DF), që kalon nga pika F dhe është pingule me drejtëzën d. Si origjinë marrim pikën O të segmentit [DF], që e ndan këtë segment në raportin e, d.m.th. OFOD = e. Me këtë sigurohemi që konikja kalon nëpër origjinën e sistemit koordinativ.Në sistemin koordinativ të zgjedhur, koordinatat e pikës F le të jenë (f; 0). Pra, F(f; 0). Ekuacioni i drejtëzës d le të jetë x = s. Nëse koordinatat e pikës M janë M(x; y), atëherë koordinatat e pikës H janë H(s; y). Kemi MF = (f – x)2 + y2 dhe MH = |s – x|Shqyrtojmë bashkësinë e pikave të planit që vërtetojnë barazimin MFMH = e (1).Ky barazim është i njëvlershëm me barazimin MF = e ·MH, d.m.th. është i njëvlershëm edhe me barazimin (MF)2 = e2 ·(MH)2, pra edhe me barazimin(f – x)2 + y2 = e2(s – x)2 (2).Kështu, pika M(x; y) e planit ndodhet në bashkësinë (koniken) e shqyrtuar atëherë dhe vetëm atëherë kur koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin (2). Ekuacioni (2) është ekuacioni i konikes së shqyrtuar.Me shndërrime të njëvlershme, ky ekuacion sillet në trajtën:(1 – e)2x2 + y2 – 2(f – e2s)x + (f 2 – e2s2) = 0 (3)Meqenëse OFOD = e, kemi OF = e · OD, d.m.th |f| = e · |s|. Por O, F ndodhen në gjysmëboshte të kundërta të boshtit të abshisave, prandaj abshisat e tyre f dhe s kanë shenja të kundërta. Pra, f = –e ·s.Duke bërë këtë zëvendësim në ekuacionin (3), marrim këtë ekuacion të përbashkët për koniket: (1 – e2) · x2 + y2 – 2f(1 + e)x = 0.HHDFFxOjiMMy(d) (d)Fig. 10.22