Page 287 - Demo
P. 287
11. NJEHSIMI INTEGRAL28511.1 Integrali i pacaktuarA Kërkoni dhe zbuloniGjeni një funksion, derivati i të cilit në çdo pikë x > 0 të jetë:a) 2x; b) –sinx; c) 1x . A është i vetëm ai?B Vrojtoni dhe mësoniPërkufizimi i integralit të pacaktuar Le të jetë dhënë funksioni f i përcaktuar në intervalin I dhe F një funksion që, në çdo pikë të intervalit I, ka derivat të barabartë me f(x). Thuhet atëherë që funksioni F është primitivë e funksionit f në intervalin I.Përkufizim 1: Funksioni që ka derivat të barabartë me f(x) në çdo pikë të intervalit I quhet primitivë e funksionity = f(x) në I. Kemi: F'(x) = f(x) ∀x∈I.Shembulli 1a) Funksioni F: y = x është primitivë e funksionit f: y = 1 në R, sepse x' = 1, ∀x∈R. b) Funksioni F: y = x2 është primitivë e funksionit f: y = 2x, sepse (x2)' = 2x ∀x∈R.c) Funksioni F: y = sinx është primitivë e funksionit f: y = cosx, sepse (sinx)' = cos x ∀x∈R. Funksioni F : y = 3x2 është primitivë e funksionit f : y = 6x.Vëmë re se edhe funksioni y = 3x2 + c, c ∈R, është primitivë e funksioni f, sepse (3x2 + c)' = 6x. Ka vend teorema: Teoremë 1Në qoftë se F është primitivë e funksionit f në I, atëherë të gjitha funksionet e formës F + c, ku c është konstante, janë primitiva të funksionit f në I.Vërtetim Gjejmë derivatin e funksionit F(x) + c, kemi [F(x) + c]' = F'(x) + c' = f(x), gjë që tregon se edhe F + cështë primitivë e funksionit f.Teoremë 2Nëse F është një primitivë e funksionit f në I, atëherë çdo primitivë e f në I mund të paraqitet në trajtën F + c, ku c është një konstante.VërtetimLe të jetë G një primitivë çfarëdo e f në intervalin I. Atëherë kemi G'(x) = f(x) për çdo x nga I. Por kemi gjithashtu F'(x) = f(x), për çdo x nga I, sepse F është primitivë e f në intervalin I. Meqenëse funksionet F dhe G kanë derivate të barabarta në çdo pikë të I, atëherë nga një rrjedhim i teoremës së Lagranzhit, del se ndryshesa e tyre është konstante në I, d.m.th. G – F = c, prej ku G = F + c në I. Çfarë deshëm të vërtetonim!Kështu, shprehja F + c (ku F është një primitivë e funksionit F) jep të gjitha primitivat e funksionit f dhe vetëm ato.
