Page 288 - Demo

286MATEMATIKA 12Përkufizimi 2: Shprehja F + c quhet integral i pacaktuar i funksionit f në I dhe shënohet ∫ f(x)dx (lexohet “integrali i pacaktuar i funksionit f”).Ndërkaq: simboli ∫ është shenja e integralit, f është funksioni nën integral, f(x)dx është shprehja nën integral.Pra, ∫f(x) dx = F(x) + c.Veprimi sipas të cilit nga derivati i funksionit gjejmë funksionin primitiv quhet integrim.Integrimi është veprimi i anasjellë i derivimit.Shembulli 2Meqenëse funksioni y = x2 është një primitivë e funksionit y = 2x në R, shkruajmë ∫2xdx = x2 + c.Vërtetohet se: Çdo funksion i vazhdueshëm në një interval është i integrueshëm në këtë interval.Vetitë e integralit të pacaktuar. Tabela e disa integraleveVetia 1Derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me funksionin nën integral [∫f(x) dx]' = f(x).Vërtetim Le të jetë F një primitivë e funksionit f. Atëherë ∫f(x) dx = F(x) + c dhe [∫f(x) dx]' = [F(x) + c]’ = F’(x) + c’ = f(x). Çfarë deshëm të vërtetonim!Vetia 2Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me shprehjen nën integral d[∫f(x) dx] = f(x) dx.VërtetimDimë se diferenciali i funksionit të derivueshëm është prodhim i derivatit të tij me dx. Prandaj, d[∫f(x)dx] = [∫f(x) dx]' · dx = f(x) · dx (është përdorur vetia e parë për derivatin e integralit të pacaktuar).Vetia 3Integrali i diferencialit të një funksioni është i barabartë me funksionin nën diferencial. Pra, ∫ d[F(x) + c] = F(x) + c.Vërtetim Kemi. d[F(x) + c] = [F(x) + c]' · dx = (F'(x) + c') dx = (f(x) + 0)dx = f(x) dx.Prandaj: ∫d [F(x) + c] = ∫f(x) dx = F(x) + c.Shembulli 3a) Të vërtetohet se: ∫ x2 dx = x33 + c (1)Vërtetim(x33 + c) = (x33 )' + c' = 3x33 = x2 në bazë të vetisë së parë, barazimi (1) është i vërtetë.b) Të vërtetohet se: ∫ dxcos2 x = tgx + c (2)Vërtetim(tgx + c)' = (tgx)' + c' = 1cos2 x në bazë të vetisë së parë, barazimi (2) është i vërtetë.