Page 289 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL287Vetia 4Integrali i pacaktuar i prodhimit të një konstanteje me një funksion të integrueshëm në I është i barabartë me prodhimin e konstantes me integralin e funksionit. Pra, ∫ kf(x) dx = k ∫f(x) dx.Vërtetim Tregojmë që të dyja anët e barazimit shërbejnë si shprehje që japin të gjitha primitivat e të njëjtit funksion. Për këtë mjafton të vërtetojmë që derivatet e të dyja anëve janë të barabarta për çdo x nga I. Për derivatin e anës së majtë, sipas vetisë së parë, shkruajmë: [∫ k · f(x) dx]' = k · f(x). Për derivatin e anës së djathtë, përdorim në fillim rregullin për derivatin e funksionit k · u dhe marrim [k · ∫f(x)]' = k · [∫f(x)dx]' = k · f(x).Vetia 5Integrali i pacaktuar i shumës së disa funksioneve të integrueshme është i barabartë me shumën e integraleve të secilit funksion. ∫[f1(x) + f2(x) + ....... + fn(x)]dx =∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx + ...... + ∫fn(x)dx.Më poshtë është paraqitur një tabelë për integralet e disa funksioneve të thjeshta. Vërtetësia e barazimeve tregohet menjëherë duke përdorur vetinë e parë.Tabela e integraleve1. ∫dx = x + c 2. ∫xαdx = xα + 1α + 1 + c (α ≠ –1) 3. ∫ dxx= ln|x| + c4. ∫sinxdx = –cos x + c 5. ∫cos x dx = sinx + c 6. ∫ axdx = axln a +c7. ∫exdx = ex + c 8. ∫ dxcos2 x = tgx + c 9. ∫ dxsin2 x = –cot g x + c10. ∫ dxx2 – a2 = 12a ln | x – ax + a | + c 11. ∫ dxx2 + a2 = ln |x + x2 + a2 | + c12. ∫ dx1 – x2 = arcsinx + c 13. ∫ dx1 + x2 = arctgx + cShembulli 4Të njehsohet: ∫(3x2 – 2x + 5)dxZgjidhje∫(3x2 – 2x + 5)dx = ∫3x2dx – ∫2xdx + ∫5dx = 3 ∫x2 dx – 2 ∫xdx + 5∫dx == 3x33 + c1 – 2x22 + c2 + 5x + c3 = x3 –x2 + 5x + cShënim. Meqenëse shuma e konstanteve është konstante, do të vendosim një konstante në fund të llogaritjes përfundimtare të integralit.Shembulli 5Të njehsohet. ∫ (x3 – 1) dxx – 1 .Zgjidhje∫ (x3 – 1) dxx – 1 = ∫(x – 1) (x2 + x + 1) x – 1 dx = ∫(x2 + x + 1)dx = ∫x2 dx + ∫xdx + ∫dx = 3x33 + x32 + x + c.