Page 292 - Demo

290MATEMATIKA 12II. Duke u nisur nga përkufizimi i diferencialit, df(x) = f '(x) dx, vëmë re:1. dx = d(x + b) 6. xα dx = 1α + 1 d (xα +1), (α ≠ –1)2. dx = 1ad (ax) 7. dxx = d (ln|x|)3. dx = 1ad (ax + b) 8. exdx = d (ex)4. xdx = 12 d (x2) 9. cos x dx = d (sinx)5. xn dx = 1n + 1 d (xn+1), n∈N 10. sinx dx = d(–cos x)Ka vend kjo teoremë, që ne do ta pranojmë pa vërtetim:Nëse u = u(x) është një funksion I derivueshëm dhe ∫f (x) dx = F(x) + c, atëherë ∫f(u) du = F(u) + c.Me fjalë të tjera, formulat e integrimit e ruajnë trajtën e vet nëse tek ato zëvendësohet x me një funksion u të derivueshëm.Shembulli 5Të njehsohet ∫(2x + 5)10 dx.Zgjidhje Vëmë re se: d(2x + 5) = (2x + 5)' dx = 2dx ⇔ dx = 12 d (2x + 5).Atëherë: ∫(2x + 5)10 dx = ∫(2x + 5)10 · 12 d (2x + 5). Duke shënuar u = 2x + 5, kemi = 12 ∫ u10 d(u) = 12 · u1111 + c = (2x + 5)1122 + c.Shembulli 6Të njehsohet ∫ 22x + 1 3 dx.Zgjidhje∫ 22x + 1 3 dx = ∫ 2(2x + 1)13dx = ∫ 2(2x + 1)–13 dxVëmë re se: d(2x + 1) = (2x + 1)' dx = 2dx ⇔ dx = 12 d (2x + 1).Atëherë: ∫ 22x + 1 3 dx = 2∫(2x + 1)– 13 dx = 2∫(2x + 1)– 13 · 12 d(2x + 1).Duke shënuar u = 2x + 1, marrim: 2 · 12 ∫u– 13 d(u) = u2323 + c = 32 · u23 + c = 32 (2x + 1)23 + c.Shembulli 7Të njehsohet ∫ x(1 – x2)4 dx.ZgjidhjeVëmë re se: d(1 – x2) = (1 – x2)' dx = –2xdx ⇔ xdx = – 12 d (1– x2). Atëherë: ∫x(1 – x2)4 dx = ∫(1 – x2)4 xdx = ∫(1 – x2)4 (– 12)d(1 – x2). Duke shënuar 1 – x2 = u, marrim – 12 ∫u4 d(u) = – 12 · u55 + c = – 12 · (1 – x)55 + c = – (1 – x2)510 + c.