Page 294 - Demo

292MATEMATIKA 1211.3 Gjetja e integraleve të pacaktuara me metodën e zëvendësimitA Kërkoni dhe zbuloniDuke bërë zëvendësimi x – 3 = t, njehsoni integralet: a) ∫( x – 3)5dx; b) ∫ dxx – 3.B Vrojtoni dhe zbuloniNë disa raste, për njehsimin e ∫f(x) dx është është e dobishme të bëhet një zëvendësim i trajtës x = g(t), ku gështë një funksion i t që ka funksion të anasjellë dhe është i derivueshëm. Me këtë, integrali i shqyrtuar sillet në trajtën ∫f[g(t)]dg(t)=∫f[g(t)] · g' (t)dt, i cili nganjëherë njehsohet thjesht. Pra, përdoret barazimi: ∫f(x)dx = ∫f[g(t)] · g' (t)dt.Të tregojmë vërtetësinë e këtij barazimi, d.m.th. korrektësinë e metodës së zëvendësimit.Ta zëmë se kemi ∫f(x)dx = F(x) + c. Të tregojmë që ∫f[g(t)] · g' (t)dt = F[g(t)] + c.Për këtë mjafton të tregojmë që derivati i anës së djathtë është sa funksioni nën shenjën e integralit në anën e majtë. Kemi vërtet: {F [g(t)] + c}' = F' [g(t)] · g' (t) = f [g(t)] · g' (t).Kur përdoret kjo metodë, pasi njehsohet ∫f[g(t)] · g' (t)dt, kthehemi te ndryshorja x me zëvendësimin t = f –1(x).Shembulli 1Gjeni ∫ 1x + 5 dx.· Zëvendësojmë x = t.· Del: x = t2. Pra, dx = 2tdt.· Atëherë, integrali shkruhet:∫ 1x + 5 dx = ∫ 2tt + 5 dt = 2 ∫ t + 5 – 5t + 5 dt = 2 ∫(t + 5t + 5 – 5t + 5 ) dt= 2∫dt – 10 ∫ 1t + 5 dt = 2 ∫dt – 10 ∫ 1t + 5 d(t + 5) = 2t – 10 ln |t + 5| + c.· Në shprehjen e fundit, zëvendësojmë t = x dhe gjejmë:∫ 1x + 5 dx = 2 x – 10 ln | x + 5| + c.Shembulli 2Gjeni ∫ x x – 1 dx.· Zëvendësojmë x – 1= t.· Del: x = t2 + 1. Pra, dx = 2tdt.· Atëherë, integrali shkruhet:∫ x x – 1 dx = ∫(t2 + 1) · t · 2tdt = 2 ∫(t4 + t2)dt = 2 ∫t4 dt + 2 ∫t2 dt =2 t55 + 2 t33 + c· Në shprehjen e fundit, zëvendësojmë t = x – 1 dhe gjejmë:∫ x x – 1 dx = 2 ( x – 1)55 + 2 ( x – 1)33 + c