Page 296 - Demo

294MATEMATIKA 1211.4 Gjetja e integraleve të pacaktuara me metodën e integrimit me pjesëA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Shqyrtoni funksionet u = 2x; v = sinx.a) Njehsoni derivatet e tyre.b) Njehsoni integralet ∫u(x)v'(x)dx; ∫v(x)u'(x)dx dhe gjeni shumën e tyre.c) Ç’vini re?B Vrojtoni dhe mësoniTeorema që vijon paraqet një metodë tjetër për gjetjen e primitivave të funksioneve.Teoremë:Le të jenë u(x) dhe v(x) dy funksione të derivueshme në një interval I së bashku me derivatet e tyre, u’(x) dhe v’(x). Atëherë: ∫u (x) v'(x) dx = u(x) · v (x) – ∫ v (x) u'(x) dx (1)VërtetimDuke përdorur rregullin për derivatin e prodhimit të dy funksioneve, marrim barazimin: [u(x) · v(x)]’ = u’(x)· v(x) + u(x) · v’(x)Ky tregon se funksioni u(x) · v(x) është një primitivë e funksionit u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x). Rrjedhimisht kemi: ∫[u(x) · v'(x) + v(x) · u'(x)]dx = u(x) · v(x)dhe nga vetitë e integralit të pacaktuar: ∫ u(x) · v'(x)dx = u(x) · v(x) – ∫ v(x) · u'(x) dx.Formula e fundit quhet formula e integrimit me pjesë.Ajo mbahet mend më lehtë duke e shkruar në trajtën ∫u · dv = u · v – ∫v · du (2)Shembulli 1Gjeni ∫ x2 ln x dx.· Zgjedhim: u(x) = lnx dhe dv = x2 · dx· Kemi u’(x) = 1x, pra du = 1x · dx dhe v(x) = ∫ x2 dx = x33 .· Në bashkësitë e tyre të përcaktimit, këto funksione janë të gjitha të derivueshme, pra mund të zbatojmë formulën e integrimit me pjesë. Kështu:∫ x2 lnx dx = x33 ln x – ∫x331xdx == x33 lnx – 13 ∫x2 dx = x33 ln x – 13 · x33 + c.· Përfundimisht, ∫x2 lnx dx = x33 (ln x – 13) + c.Shembulli 2Gjeni ∫ xe2x dx. · Zgjedhim: u(x) = x dhe dv = e2x.dx· Kemi u’(x) = 1, pra du = dx dhe v(x) = ∫e2x dx = e2x2 .· Në bashkësitë e tyre të përcaktimit, këto funksione janë të gjitha të derivueshme, pra mund të zbatojmë formulën e integrimit me pjesë. Kështu:∫xe2x dx = x e2x2 – ∫e2x2 dx = x e2x2 – 12 ∫e2x dx = = x e2x2 – 12e2x2 + c.· Përfundimisht: ∫ xe2x dx = e2x2 (x – 12) + c.