Page 297 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL295Shënim. Në ndonjë rast, mund të jetë e nevojshme që formula e integrimit me pjesë të përdoret në mënyrë të njëpasnjëshme disa herë gjatë njehsimit të integralit të pacaktuar.Shembulli 3Gjeni ∫x2 cos x dx.· Zgjedhim: u(x) = x2 dhe dv = cosx.· Kemi u’(x) = 2x, pra du = 2xdx dhe v(x) = ∫ cos x dx = sin x.· Në bashkësitë e tyre të përcaktimit, këto funksione janë të gjitha të derivueshme, pra mund të zbatojmë formulën e integrimit me pjesë. Kështu:∫ x2 cosx dx = x2 sinx – ∫ 2x sinx dx = x2 sin x – 2 ∫ x sin x dx.· Në integralin e anës së djathtë, zbatojmë edhe njëherë formulën e integrimit me pjesë, duke zgjedhur u(x) = x dhe dv = sinx · dx. Gjejmë u’(x) = 1, pra du = dx dhe v(x) = – cosx. Atëherë, nga formula e integrimit me pjesë, kemi për të:∫ x sinx dx = – x cos x + ∫ cos x dx = –x cos x + sinx + c· Përfundimisht, ∫ x2 cos x dx = x2 sin x – 2(–x cos x + sin x) + c = x2 sinx + 2x cos x –2 sin x + c.Zgjedhjet e kryera në shembujt e mësipërm për funksionet u dhe v, tregojnë disa kritere të përgjithshme që tregohen në tabelën që vijon:Integrali i pacaktuar u = ..., v’ = ...∫Pn (x)lnx dx,Pn(x) polinom i fuqisë nu = lnxdv = Pn(x) · dx∫Pn (x) eax dxPn(x) polinom i fuqisë n, a realu = Pn(x)dv = eaxdxMetoda përdoret në mënyrë të njëpasnjëshme n herë.∫Pn (x)sin (ax) dx,Pn(x) polinom i fuqisë n, a realu = Pn(x)dv = sin(ax)dxMetoda përdoret në mënyrë të njëpasnjëshme n herë.∫Pn (x) cos (bx) dx,Pn(x) polinom i fuqisë n, b realu = Pn(x)dv = cos(bx)dxMetoda përdoret në mënyrë të njëpasnjëshme n herë.I1 = ∫eax sin (bx) dxu = eaxdv = sin(bx)dxMbas përdorimit dy herë të metodës, fitohet një ekuacion në lidhje me I1.I2 = ∫ eax cos (bx) dxu = eaxdv = cos(bx)dxMbas përdorimit dy herë të metodës, fitohet një ekuacion në lidhje me I2.