Page 298 - Demo

296MATEMATIKA 12USHTRIMEC Ushtrohuni duke zbatuarGjeni integralet e pacaktuara:1. ∫ xln x dx; 2. ∫(2x + 1)e–x dx; 3. lnxx2 dx.Të gjenden integralet e pacaktuara:1 ∫ x ln 2x dx; 2 ∫(3x –1)e–x dx; 3 ∫ln4xx2 dx;4 ∫ x lnx dx; 5 ∫ x3 ln x dx; 6 ∫ xe2x + 3 dx;7 ∫(x –1)e4x dx; 8 ∫(x2 + 1)e– x dx; 9 ∫ x3 lnx dx.Të njehsohen integralet që vijojnë:10 ∫(x + 6)sinx dx; 11 ∫(3x + 7)cos 3x dx; 12 ∫(x3 + 7)cos x dx;13 ∫(x + 5)sin(2x + 3) dx; 14 ∫ x cos(2 – 3x) dx; 15 ∫(1 – x)sin (x – 1) dx.Të gjenden integralet që vijojnë:16 ∫ e2x sin3x dx; 17 ∫ e3x cos 2 x dx; 18 ∫ xex sinx dx.19 Le të jetë a një numër real jo zero i fiksuar.a) Gjeni derivatin e funksionit f(x) = eax(Acosx + Bsinx), ku A dhe B janë dy konstante reale.b) Nxirrni prej kësaj primitivat e funksioneve g(x) = eaxcosx dhe h(x) = eaxsinx.20 Gjeni primitivat e funksioneve që vijojnë, duke përdorur metodën e integrimit me pjesë:a) y = x x + 1 (udhëzim: u(x) = x, dv = x + 1 · dx);b) y = x31 + x2 (udhëzim: u(x) = x2, dv = x1 + x2 · dx);c) y = x3 e–x2 (udhëzim: u(x) = x2, dv = xe–x2· dx);d) y = xsin2x (udhëzim: vërejmë në fillim se sin2x = 1 – cos 2x2 ).21 Të gjendet integrali i pacaktuar ∫ 1x3 cos 1xdx.Udhëzim: u(x) = – 1x ; dv = – 1x2 cos 1x · dx.Shembulli 4Njehsoni integralin ∫ex cos x dx.· Zgjedhim: u(x) = ex dhe dv = cosx.· Kemi: u’(x) = ex, pra du = ex dx dhe v(x) = ∫ cos x dx = sinx.· Në bashkësitë e tyre të përcaktimit këta funksione janë të gjithë të derivueshëm, pra mund të zbatojmë formulën e integrimit me pjesë. Kështu: ∫ ex cos x dx = ex sin x – ∫ ex sinx dx;· Në integralin e anës së djathtë zbatojmë edhe një herë formulën e integrimit me pjesë duke zgjedhur: u(x) = ex dhe dv = sinx.dx. Gjejmë: u’(x) = ex, pra du = ex dx dhe v(x) = -cosx. Atëherë, nga formula e integrimit me pjesë kemi për të: ∫ ex sinxdx = –ex cos x + ∫ ex cos x dx;Zëvendësojmë dhe marrim: ∫ ex cos xdx = ex sinx + ex cos x – ∫ ex cos xdx ⇒ 2 ∫ ex cos xdx = exsinx + ex cos xPërfundimisht, ∫ ex cos xdx = ex sinx + ex cos x2 .